2015-2016学年北京十一中八年级（上）期中数学试卷
一、相信你一定能填对（每小题3分，共48分）
1．一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0一根为0，则a=__________．
2．折竹抵地（源自《九章算术》）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？答：__________（意：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？）
3．若直线y=kx+b与直线y=mx﹣n的交点是（2，1），则方程
4．如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于__________．
解为__________．
5．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是__________．
6．如图，△DEF是由△ABC绕某点旋转得到的，则这点的坐标是__________．
7．若关于x的方程x2+mx+16=0有两个不相等的整数根，则m的值为__________（只要写出一个符合要求的m的值）．
8．写一个关于x的一元二次方程，使它有一个根为1，你写出的方程是__________．
22229．若实数x、y满足（x2+y2+2）（x+y﹣1）=0，则x+y=__________．
10．写出一个一次函数，使该函数图象经过第一、二、四象限和点（0，5），则这个一次函数可以是__________．
11．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB=3，AD=9，则BE的长为__________．
12．已知一次函数的图象与直线y=﹣x+1平行，写出一个符合题意的一次函数解析式是__________．
13．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别2，3，S2，S3，S4， 是1，正放置的四个正方形的面积依次是S1，则S1+S2+S3+S4=__________．
14．如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3，上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是__________．
15．一次函数y=2x+b与两坐标轴围成三角形的面积为4，则b=__________．
16．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则∠APB=__________°，△ABC的面积=__________．
二、认真解答，一定要细心呦！ 17．用适当方法解下列方程：
2
（1）x﹣4x﹣3=0；
2
（2）（x﹣1）+2x（x﹣1）=0．
18．已知关于x的一元二次方程x2+3x+1﹣m=0．
（1）请选取一个你喜爱的m的值，使方程有两个不相等的实数根，并说明它的正确性； （2）设x1，x2是（1）中所得方程的两个根，求x1x2+x1+x2的值．
19．如图，四边形ABCD的周长为42，AB=AD=12，∠A=60°，∠D=150°，求BC的长．
20．关于x的方程kx2+（3k+1）x+3=0．
（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根； （2）当方程有两个不相等的整数根时，求k的正整数值．
21．已知：如图，点A是直线l外一点，B，C两点在直线l上，∠BAC=90°． （1）按要求作图：（保留作图痕迹）
①以A为圆心，BC为半径作弧，再以C为圆心，AB为半径作弧，两弧交于点D； ②作出所有以A，B，C，D为顶点的四边形；
（2）比较在（1）中所作出的线段BD与AC的大小关系．
22．如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，AC=1，∠ACD=60°，求四边形ABCD的面积．
23．据统计，2014年3月（共31天）北京市空气质量等级天数如下表所示：
空气质量等级 天数（天） 优 5 良 11 轻度污染 3 中度污染 7 重度污染 2 严重污染 __________ （1）请根据所给信息补全统计表；
（2）市环保局正式发布了北京PM2.5来源的最新研究成果，专家通过论证已经分析出汽车尾气排放是本地主要污染源．在北京市小客车数量调控方案中，将逐年增加新能源小客车的指标．已知2014年的指标为2万辆，计划2016年的指标为6万辆，假设2014～2016年新能源小客车指标的年增长率相同且均为x，求这个年增长率x．（参考数据：≈1.732，
24．在平面直角坐标系xOy中，已知两点A（﹣1，0），B（﹣2，3），在y轴上求作一点P，使AP+BP最短，并求出点P的坐标．
25．阅读理解：
2
方程ax+bx+c=0（a≠0）的根是x=
2
．方程y+by+ac=0的根是
≈1.414，
≈2.236，≈2.449）
x=．
22
因此，要求ax+bx+c=0（a≠0）的根，只要求出方程y+by+ac=0的根，再除以a就可以了．2
举例：解方程72x+8x+=0．
2
解：先解方程y+8y+72×=0，得y1=﹣2，y2=﹣6．
∴方程72x2+8x+=0的两根是x1=即x1=﹣
，x2=﹣
．
，x2=．
2
请按上述阅读理解中所提供的方法解方程49x+6x﹣=0．
26．已知：在矩形ABCD和△BEF中，∠DBC=∠EBF=30°，∠BEF=90°．
（1）如图1，当点E在对角线BD上，点F在BC边上时，连接DF，取DF的中点M，连接ME，MC，则ME与MC的数量关系是__________，∠EMC=__________°；
（2）如图2，将图1中的△BEF绕点B旋转，使点E在CB的延长线上，（1）中的其他条件不变．
①（1）中ME与MC的数量关系仍然成立吗？请证明你的结论； ②求∠EMC的度数．
27．数学课外选修课上李老师拿来一道问题让同学们思考，原问题：如图1，已知△ABC，在直线BC两侧，分别画出两个等腰三角形△DBC，△EBC使其面积与△ABC面积相等；（要求：所画的两个三角形一个以BC为底．一个以BC为腰）
小伟是这样思考的：我们学习过如何构造三角形与已知三角形面积相等．如图2，过点A作直线l∥BC，点D、E在直线l上时，S△ABC=S△DBC=S△EBC，如图3，直线l∥BC，直线l到BC的距离等于点A到BC的距离，E、F在直线l上，点D、则S△ABC=S△DBC=S△EBC=S△FBC．利用此方法也可以计算相关三角形面积，通过做平行线，将问题转化，从而解决问题． （1）请你在备用图中，解决李老师提出的原问题；（在备用图1中画出以BC为底的等腰三角形△DBC，在备用图2中画出以BC为腰的等腰三角形△EBC）
参考小伟同学的想法，解答问题：
（2）如图4，由7个形状，大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格△ABC的顶点都在格点上， 点，若每个正六边形的边长为1，则△ABC的面积为__________．O是坐标原点，A0）B2）D是直线l：y=x+3（3）在平面直角坐标系xOy中，（﹣1，，（0，，上一点，使△ABO与△ABD面积相等，则D的坐标为__________．
2015-2016学年北京十一中八年级（上）期中数学试卷
一、相信你一定能填对（每小题3分，共48分）
1．一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0一根为0，则a=﹣1． 【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义． 【专题】计算题．
【分析】把x=0代入原方程即可解得a值，再根据一元二次方程的特点求出合适的a值．
22
【解答】解：把x=0代入一元二次方程（a﹣1）x+x+a﹣1=0
得到a﹣1=0， 1， 解得a=±∵a﹣1≠0，∴a≠1 即a=﹣1
22
所以一元二次方程（a﹣1）x+x+a﹣1=0一根为0，则a=﹣1．
2
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．
一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
2．折竹抵地（源自《九章算术》）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？答：折断处离地面4.55尺（意：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？）
【考点】勾股定理的应用．
【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．
【解答】解：设折断处离地面x尺，根据题意可得： x2+32=（10﹣x）2， 解得：x=4.55，
答：折断处离地面4.55尺． 故答案为：折断处离地面4.55尺．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
3．若直线y=kx+b与直线y=mx﹣n的交点是（2，1），则方程【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解易得方程【解答】解：因为直线y=kx+b与直线y=mx﹣n的交点是（2，1）， 所以方程
解为
．
解．
解为
．
故答案为．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
4．如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于
．
【考点】正方形的性质；三角形的面积；勾股定理． 【专题】几何综合题．
【分析】作B′F⊥AD，垂足为F，WE⊥B′F，垂足为E，根据绕顶点A逆时针旋转30°，计算出边，然后求面积．
【解答】解：如图，作B′F⊥AD，垂足为F，WE⊥B′F，垂足为E， ∵四边形WEFD是矩形，∠BAB′=30°， ∴∠B′AF=60°，∠FB′A=30°，∠WB′E=60°， ∴B′F=AB′sin60°=，AF=AB′cos60°=，WE=DF=AD﹣AF=， EB′=WE′cot60°=，EF=B′F﹣B′E=
， ∴S△B′FA=
，S△B′EW=
，SWEFD=
，
∴公共部分的面积=S△B′FA+S△B′EW+SWEFD=；
法2：连接AW，如图所示：
根据旋转的性质得：AD=AB′，∠DAB′=60°， 在Rt△ADW和Rt△AB′W中， ∵
，
∴Rt△ADW≌Rt△AB′W（HL）， ∴∠B′AW=∠DAW=DAB′=30°，
又∵AD=AB′=1，
在Rt△ADW中，tan∠DAW=，即tan30°
=WD， 解得：WD=
，
∴S△ADW=S△AB′W=WD•AD=
，
则公共部分的面积=S△ADW+S△AB′W=．
故答案为
．
【点评】本题利用了正方形的性质，三角形的面积公式，勾股定理求解．
5．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是k＞﹣1且k≠0．
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
k×【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（﹣2）﹣4×（﹣1）＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根， ∴k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0， 解得k＞﹣1且k≠0．
∴k的取值范围为k＞﹣1且k≠0， 故答案为：k＞﹣1且k≠0．
22
【点评】本题考查了一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b﹣4ac：当△＞0，
2
2
方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
6．如图，△DEF是由△ABC绕某点旋转得到的，则这点的坐标是（0，1）．
【考点】坐标与图形变化-旋转．
【专题】压轴题．
【分析】根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，可知，只要连接两组对应点，作出对应点所连线段的两条垂直平分线，其交点即为旋转中心． 【解答】解：如图，
连接AD、BE，作线段AD、BE的垂直平分线， 两线的交点即为旋转中心O′．其坐标是（0，1）． 故答案为（0，1）．
【点评】本题考查旋转变换作图，在找旋转中心时，要抓住“动”与“不动”，关键是对旋转性质的把握．
7．若关于x的方程x2+mx+16=0有两个不相等的整数根，则m的值为10（只要写出一个符合要求的m的值）． 【考点】根的判别式． 【专题】开放型．
22
【分析】因为方程x+mx+16=0有两个不相等的整数根，所以△=b﹣4ac＞0，建立关于m
的不等式，求出m的取值范围，在这个范围内，且满足是整数根即可． 【解答】解：∵方程有两个不相等的整数根， ∴△=b2﹣4ac=m2﹣64＞0， 解得：m＞8或m＜﹣8． 故答案为：10．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，属于开放性试题，注意答案的不唯一性．
8．写一个关于x的一元二次方程，使它有一个根为1，你写出的方程是x（x﹣1）=0． 【考点】一元二次方程的解． 【专题】开放型．
【分析】有一个根是1的一元二次方程有无数个，只要含有因式x﹣1的一元二次方程都有一个根是1．
【解答】解：形如（x﹣1）（ax+b）=0（a≠0）的一元二次方程都有一个根是1， 当a=1，b=0时，可以写出一个一元二次方程：x（x﹣1）=0． 故答案可以是：x（x﹣1）=0．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根，有一个根是1的一元二次方程有无数个，此题是开放性试题，答案不唯一．
22229．若实数x、y满足（x2+y2+2）（x+y﹣1）=0，则x+y=1．
【考点】换元法解一元二次方程．
22
【分析】设x+y=m，化简方程后求得m的值即可． 22
【解答】解：设x+y=m，方程化为（m+2）（m﹣1）=0
∴m1=﹣2，m2=1 ∵x2+y2≥0
∴m1=﹣2舍去，即x2+y2=1． 故本题答案为：1
【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行
22
等量替换．注意x+y是非负数．
10．写出一个一次函数，使该函数图象经过第一、二、四象限和点（0，5），则这个一次函数可以是y=﹣x+5． 【考点】一次函数的性质． 【专题】开放型．
【分析】设一次函数解析式为y=kx+b，根据一次函数的性质得k＜0，b=5，于是当k取﹣1，此时一次函数解析式为y=﹣x+5．
【解答】解：设一次函数解析式为y=kx+b， ∵函数图象经过第二、四象限和点（0，5），
∴k＜0，b=5，
∴当k取﹣1时，一次函数解析式为y=﹣x+5． 故答案为y=﹣x+5．
【点评】本题考查了一次函数y=kx+b的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
11．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB=3，AD=9，则BE的长为5．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】首先根据BE=x，则DE=BE=x，AE=AD﹣DE=9﹣x，进而利用勾股定理求出BE即可．
【解答】解：设BE=x，则DE=BE=x，AE=AD﹣DE=9﹣x，
222在Rt△ABE中，AB+AE=BE， 222则3+（9﹣x）=x，
解得：x=5． ∴BE=5． 故答案为：5．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及翻折变换的性质，设出未知数根据勾股定理列方程是解题关键．
12．已知一次函数的图象与直线y=﹣x+1平行，写出一个符合题意的一次函数解析式是y=﹣x+4．
【考点】两条直线相交或平行问题． 【专题】开放型．
【分析】设一次函数解析式为y=kx+b，再由一次函数的图象与直线y=﹣x+1平行可得k=﹣1，任意写出一个b≠1的数值得出函数解析式即可． 【解答】解：设一次函数解析式为y=kx+b， ∵次函数的图象与直线y=﹣x+1， ∴k=﹣1， 令b=4，
则一次函数解析式是y=﹣x+4． 故答案为：y=﹣x+4．
【点评】此题主要考查了两条直线平行问题，关键是掌握两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
13．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=4．
【考点】勾股定理；全等三角形的判定与性质． 【专题】规律型．
【分析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．
【解答】
解：观察发现，
∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°， ∴∠BAC=∠EBD， ∴△ABC≌△BDE（AAS）， ∴BC=ED， ∵AB2=AC2+BC2， ∴AB2=AC2+ED2=S1+S2， 即S1+S2=1， 同理S3+S4=3．
则S1+S2+S3+S4=1+3=4． 故答案为：4．
【点评】运用了全等三角形的判定以及性质、勾股定理．注意发现两个小正方形的面积和正好是之间的正方形的面积．
14．如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3，上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是
．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行线之间的距离；等腰直角三角形．
【分析】过A、C点作l3的垂线构造出直角三角形，根据三角形全等和勾股定理求出BC的长，再利用勾股定理即可求出．
【解答】解：作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，
∵∠ABC=90°， ∴∠ABD+∠CBE=90°， 又∵∠DAB+∠ABD=90°，
∴∠BAD=∠CBE，
又∵AB=BC，∠ADB=∠BEC， 在△ABD与△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（AAS）， ∴BE=AD=3，CE=2+3=5，
在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC=在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC=故答案为：
， ，
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．
15．一次函数y=2x+b与两坐标轴围成三角形的面积为4，则b=±4． 【考点】待定系数法求一次函数解析式． 【专题】计算题．
【分析】根据一次函数y=2x+b与两坐标轴由交点，可用b表示出这两点的坐标； 且围成三角形的面积为4，利用三角形面积公式可求出b的值．
【解答】解：直线y=2x+b与x轴的交点坐标是﹣，与y轴的交点坐标是（0，b）， 根据三角形的面积是4，得到|﹣|•|b|=4，即4． 解得b=±4． 故填±
【点评】本题要注意利用三角形的面积，列出方程，求出未知系数．
16．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则∠APB=150°，△ABC的面积=36+25
．
=4，
【考点】旋转的性质．
【分析】连接PP'，易证△APP′为等边三角形，同时△PP'B是直角三角形；过点A作AD垂直BP于点D，算出AD、PD，再用勾股定理算出AB，然后用公式直接求出面积． 【解答】解：连接PP′，过点A作AD⊥BP于点D，如图，
由旋转性质可知，△APC≌△AP'B， ∴AP=AP'，P'B=PC=10， ∵∠P'AP=60°，
∴△APP'是等边三角形， ∴PP'=AP=6， ∵PB=8， ∴P'B2=PB2+P'P2， ∴△PP'B是直角三角形， ∴∠P'PB=90°， ∵∠P'PA=60°， ∴∠APB=150°， ∴∠APD=30°， ∴AD=∴BD=8+3
=3，PD=，
，
，
222
在Rt△ABD中，AB=AD+BD=100+48
∴=36+25． ．
故答案为：150°；36+25
【点评】本题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理及其逆定理、特殊角的三角函数、解直角三角形、等边三角形判定与性质、等边三角形的面积公式等知识点，难度较大．通过旋转的性质得出△APP′为等边三角形以及△PP'B是直角三角形是解答本题的第一个关键；在得 出∠APB为150°之后，“将特殊角或其补角放入直角三角形当中”是解答本题的第二个关键．
二、认真解答，一定要细心呦！ 17．用适当方法解下列方程：
2
（1）x﹣4x﹣3=0；
2
（2）（x﹣1）+2x（x﹣1）=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法． 【专题】计算题．
【分析】（1）利用配方法解方程，方程两边加上7，方程左边配成完全平方式，然后利用直接开平方解方程；
（2）利用提公因式分解因式，方程转化为x﹣1=0或3x﹣1=0，解两个一次方程即可． 【解答】解：（1）x﹣4x+4=7， ∴（x﹣2）2=7， ∴x﹣2=±x1=2+
（2）（x﹣1）（x﹣1+2x）=0， ∴x﹣1=0或3x﹣1=0， ∴x1=1，x2=．
【点评】本题考查了解一元二次方程的方法：解一元二次方程的方法有：因式分解法、直接开平方法、公式法以及配方法．在利用因式分解法解方程时，使方程右边为0，把左边分解因式，然后把一元二次方程转化为两个一元一次方程，解两个一次方程即可．
18．已知关于x的一元二次方程x2+3x+1﹣m=0．
，
；
2
，x2=2﹣
（1）请选取一个你喜爱的m的值，使方程有两个不相等的实数根，并说明它的正确性； （2）设x1，x2是（1）中所得方程的两个根，求x1x2+x1+x2的值． 【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【分析】（1）选取m的值，只要使方程的判别式△＞0，方程有两个不相等的实数根； （2）利用根与系数关系即可求得两根的和与两根的积，再代入x1x2+x1+x2即可求解．
2【解答】解：（1）取m=4，则原方程变为：x+3x﹣3=0．
∵△=9+12=21＞0，
∴符合两个不相等的实数根； （2）∵x1+x2=﹣3，x1x2=﹣3， ∴x1x2+x1+x2=﹣3﹣3=﹣6． 答：x1x2+x1+x2的值为﹣6．
【点评】△＞0时，一元二次方程有2个不相等的实数根．注意运用根与系数的关系使计算简便．
19．如图，四边形ABCD的周长为42，AB=AD=12，∠A=60°，∠D=150°，求BC的长．
【考点】勾股定理；等边三角形的判定与性质． 【专题】计算题．
【分析】连接BD，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形确定△ABD是等边三角形，再判断出△BDC是直角三角形，利用勾股定理即可列方程求出BC的长． 【解答】解：如图： 连接BD，
∵AB=AD，∠A=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠CDB=150°=90°﹣60°， △BCD是直角三角形，
于是BC+CD=42﹣12﹣12=18，从而CD=18﹣x，
222
利用勾股定理列方程得（18﹣BC）+12=BC，
解得BC=13．
【点评】本题考查了勾股定理和等边三角形的判定与性质，作出辅助线BD构造等边三角形是解题的关键．
20．关于x的方程kx2+（3k+1）x+3=0．
（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根； （2）当方程有两个不相等的整数根时，求k的正整数值． 【考点】根的判别式；一元一次方程的解． 【专题】证明题．
【分析】（1）分类讨论：当k=0时，方程变形一元一次方程，有一个实数解；当k≠0时，
2
计算判别式得到△=（3k﹣1），由此得到△≥0，由此判断当k≠0时，方程有两个实数根；
（2）利用求根公式法解方程得到x1=﹣，x2=﹣3，根据整数的整除性可得到k为正整数1．【解答】（1）证明：当k=0时，方程变形为x+3=0，解得x=﹣3；
22
当k≠0时，△=（3k+1）﹣4•k•3=（3k﹣1），
∵（3k﹣1）2≥0， ∴△≥0，
∴当k≠0时，方程有实数根，
∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；
22
（2）解：根据题意得k≠0且△=（3k+1）﹣4•k•3=（3k﹣1），
x=
∴x1=﹣，x2=﹣3，
，
当k为正整数1时，方程有两个不相等的整数根．
22
【点评】本题考查了一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b﹣4ac：当△＞0，
方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
21．已知：如图，点A是直线l外一点，B，C两点在直线l上，∠BAC=90°． （1）按要求作图：（保留作图痕迹）
①以A为圆心，BC为半径作弧，再以C为圆心，AB为半径作弧，两弧交于点D； ②作出所有以A，B，C，D为顶点的四边形；
（2）比较在（1）中所作出的线段BD与AC的大小关系．
【考点】作图—复杂作图．
【分析】（1）按照题意直接画出符合题意的图形即可； （2）利用三角形三边关系可得出线段BD与AC的大小关系． 【解答】解：（1）按要求作图如图1所示，
四边形ABCD1和四边形ABD2C分别是所求作的四边形；
（2）由题意可得出：∵AB=CD1=D2C，AD1=BC=BD2， ∴四边形ABCD1和四边形ABD2C都是平行四边形， 又∵∠BAC=90°，
∴平行四边形ABD2C是矩形， ∴AC=BD2，BD1＞BD2=AC
故线段BD与AC的大小关系为：BD≥AC．
【点评】此题主要考查了复杂作图以及三角形三边关系，根据题意作出符合题意的图形是解题关键．
22．如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，AC=1，∠ACD=60°，求四边形ABCD的面积．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】延长CD到E，使DE=BC，连接AE，过点A作AF⊥CD于点F，根据SAS可证明△ABC≌△ADE，得出AC=AE，再证明△ACE是等边三角形，求出高AF的值，由△ABC≌△ADE，得到S四边形ABCD=S△ACE=即可解答．
【解答】解：如图，延长CD到E，使DE=BC，连接AE，过点A作AF⊥CD于点F，
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADE+∠ADC=180°， ∴∠B=∠ADE， 在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴AC=AE=1，∠BAC=∠DAE，
∵∠CAE=∠CAD+∠DAE=∠CAD+∠BAC=∠BAD=60°， ∴△ACE是等边三角形， ∵∠ACD=60°，
∴AF=AC•sin60°=1×∴S四边形ABCD=S△ACE=
=，
．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是作出辅助线，证明△ABC≌△ADE．
23．据统计，2014年3月（共31天）北京市空气质量等级天数如下表所示： 空气质量等级 天数（天） 优 5 良 11 轻度污染 3 中度污染 7 重度污染 2 严重污染 3 （1）请根据所给信息补全统计表；
（2）市环保局正式发布了北京PM2.5来源的最新研究成果，专家通过论证已经分析出汽车尾气排放是本地主要污染源．在北京市小客车数量调控方案中，将逐年增加新能源小客车的指标．已知2014年的指标为2万辆，计划2016年的指标为6万辆，假设2014～2016年新能源小客车指标的年增长率相同且均为x，求这个年增长率x．（参考数据：≈1.732，
≈2.236，
≈2.449）
≈1.414，
【考点】一元二次方程的应用． 【专题】增长率问题．
【分析】（1）根据总天数是31天进行解答；
2
（2）根据2（1+增长率）=6列方程求解．
【解答】解：（1）31﹣5﹣11﹣3﹣1﹣7﹣2=3． 故答案是：3；
2
（2）列方程得：2（1+x）=6．
解得 x=﹣1+或x=﹣1﹣（不合题意，舍去），
∴x≈0.732或x≈73.2%， 答：年增长率为73.2%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，频数与频率以及统计表．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
24．在平面直角坐标系xOy中，已知两点A（﹣1，0），B（﹣2，3），在y轴上求作一点P，使AP+BP最短，并求出点P的坐标．
【考点】轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．
【分析】作出A点关于y轴的对称点D，连接BD，交y轴于P，此时AC+BC最短；根据B、D的坐标利用待定系数法求一次函数解析式进而得出P点坐标．
【解答】解：作出A点关于y轴的对称点D，连接BD，交y轴于P，此时AC+BC最短； 设BD所在直线解析式为：y=kx+b， ∵A（﹣1，0）， ∴D（1，0），
将B（﹣2，3），D（2，0）代入得：
，
解得：
，
∴直线BD的解析式为：y=﹣x+1， 当x=0时，y=1， ∴P点坐标为：（0，1）．
【点评】此题主要考查了关于坐标轴对称点的性质以及待定系数法求一次函数解析式等知识，利用已知得出直线BD解析式是解题关键．
25．阅读理解：
2
方程ax+bx+c=0（a≠0）的根是x=2
．方程y+by+ac=0的根是
x=．
22
因此，要求ax+bx+c=0（a≠0）的根，只要求出方程y+by+ac=0的根，再除以a就可以了．2
举例：解方程72x+8x+=0．
2
解：先解方程y+8y+72×=0，得y1=﹣2，y2=﹣6．
∴方程72x2+8x+=0的两根是x1=即x1=﹣
，x2=﹣
．
，x2=．
2
请按上述阅读理解中所提供的方法解方程49x+6x﹣=0．
【考点】解一元二次方程-公式法． 【专题】阅读型．
【分析】根据阅读材料中的方法计算即可求出解．
22
【解答】解：先解方程y+6y﹣49×=0，即y+6y﹣7=0，
分解因式得：（y﹣1）（y+7）=0， 解得：y1=1，y2=﹣7， ∴方程49x2+6x﹣=0 解为：x1=
，x2=﹣．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，弄清题中的方法是解本题的关键．
26．已知：在矩形ABCD和△BEF中，∠DBC=∠EBF=30°，∠BEF=90°．
（1）如图1，当点E在对角线BD上，点F在BC边上时，连接DF，取DF的中点M，连接ME，MC，则ME与MC的数量关系是ME=MC，∠EMC=120°；
（2）如图2，将图1中的△BEF绕点B旋转，使点E在CB的延长线上，（1）中的其他条件不变．
①（1）中ME与MC的数量关系仍然成立吗？请证明你的结论； ②求∠EMC的度数． 【考点】四边形综合题．
【分析】（1）首先根据∠BEF=90°，可得∠DEF=90°，再根据点M是DF的中点，可得ME=MD，同理，可得MC=MD，据此推得ME=MC即可；然后判断出∠EMF=2∠MDE，
∠CMF=2∠MDC，即可判断出∠EMC=∠EMF+∠CMF=2∠BDC，再根据∠DBC=30°，求出∠BDC的度数，即可求出∠EMC的度数是多少．
（2）①首先根据全等三角形判定的方法，判断出△FEM≌△DGM，即可判断出EM=GM；然后在Rt△GEC中，CM=EG=EM，据此判断出ME=MC即可．
②首先分别延长FE，DB交于点H，然后根据全等三角形判定的方法，判断出△FEB≌△HEB，即可判断出FE=HE；再根据FM=MD，可得EM∥HD，据此求出∠7的度数是多少；最后根据ME=MC，求出∠EMC的度数是多少即可． 【解答】解：（1）如图1，
，
∵∠BEF=90°， ∴∠DEF=90°， ∵点M是DF的中点， ∴ME=MD，
∵∠BCD=90°，点M是DF的中点， ∴MC=MD， ∴ME=MC； ∵ME=MD，
∴∠MDE=∠MED，
∴∠EMF=∠MDE+∠MED=2∠MDE， ∵MC=MD， ∴∠MDC=∠MCD，
∴∠CMF=∠MDC+∠MCD=2∠MDC，
∴∠EMC=∠EMF+∠CMF=2（∠MDE+∠MDC）=2∠BDC， 又∵∠DBC=30°， ∴∠BDC=90°=60°﹣30°， ∴∠EMC=2∠BDC=2×60°=120°．
（2）①ME=MC仍然成立．
证明：如图2，分别延长EM，CD交于点G，
，
∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DCB=90°． ∵∠BEF=90°，
∴∠FEB+∠DCB=180°． ∵点E在CB的延长线上， ∴FE∥DC． ∴∠1=∠G． ∵M是DF的中点， ∴FM=DM．
在△FEM和△DGM中，
，
∴△FEM≌△DGM， ∴ME=GM， ∴在Rt△GEC中， MC=EG=ME， ∴ME=MC．
②如图3，分别延长FE，DB交于点H，
，
∵∠4=∠5，∠4=∠6， ∴∠5=∠6．
∵点E在直线FH上，∠FEB=90°， ∴∠HEB=∠FEB=90°． 在△FEB和△HEB中，
，
∴△FEB≌△HEB． ∴FE=HE． ∵FM=MD， ∴EM∥HD， ∴∠7=∠4=30°， ∵ME=MC， ∴∠7=∠8=30°，
∴∠EMC=180°=120°﹣∠7﹣∠8=180°﹣30°﹣30°．
故答案为：ME=MC，120．
【点评】（1）此题主要考查了四边形综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用．
（2）此题还考查了全等三角形的判定，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
27．数学课外选修课上李老师拿来一道问题让同学们思考，原问题：如图1，已知△ABC，在直线BC两侧，分别画出两个等腰三角形△DBC，△EBC使其面积与△ABC面积相等；（要求：所画的两个三角形一个以BC为底．一个以BC为腰）
小伟是这样思考的：我们学习过如何构造三角形与已知三角形面积相等．如图2，过点A作直线l∥BC，点D、E在直线l上时，S△ABC=S△DBC=S△EBC，如图3，直线l∥BC，直线l到BC的距离等于点A到BC的距离，E、F在直线l上，点D、则S△ABC=S△DBC=S△EBC=S△FBC．利用此方法也可以计算相关三角形面积，通过做平行线，将问题转化，从而解决问题． （1）请你在备用图中，解决李老师提出的原问题；（在备用图1中画出以BC为底的等腰三角形△DBC，在备用图2中画出以BC为腰的等腰三角形△EBC） 参考小伟同学的想法，解答问题：
（2）如图4，由7个形状，大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，若每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积为
．
O是坐标原点，A0）B2）D是直线l：y=x+3（3）在平面直角坐标系xOy中，（﹣1，，（0，，上一点，使△ABO与△ABD面积相等，则D的坐标为（2，4）或（【考点】一次函数综合题．
【分析】（1）分别在图1、图2中△ABC的两侧作直线l∥BC，使点D、E在直线l上，S△ABC=S△DBC=S△EBC，且BD=BC，BE=CE，于是△BCD，△BCE即为所求；
（2）根据图4中，由7个形状，大小完全相同的正六边形组成的网格，所以得到BB′∥AC，得到△ACB与△ACB′的面积相等，求出△ACB′的面积即可；
（3）由于△ABO与△ABD面积相等，则两三角形同底，所以先求出与直线AB平行且到AB的距离等于点O到AB的距离的两条直线y=2x和y=2x+4，然后分别把它们与一次函数的解析式组成方程组，再解方程组即可得到D点坐标．
【解答】解：（1）如图1，作直线l∥BC，使直线l到BC的距离等于点A到BC的距离，作线段BC的垂直平分线交直线l于点D，连接BD、CD，
，）．
∴△DBC即为所求；
如图2，过点A作直线l∥BC，以B为圆心，BC的长为半径画弧交直线l于一点E，
∴△EBC即为所求；
（2）如图4，连接BB′、CB′，过点C作CD⊥AB′于点D，
则BB′∥AC， ∴S△ABC=S△ACB′， 根据题意，可知：AB′=4， 在Rt△ACD中，CD=AC•sin60°=∴S△ABC=S△ACB′=故答案为：
；
， ；
（3）设直线AB的解析式为：y=kx+b， 点A（﹣1，0）、点B（0，2）在直线AB上，得∴直线AB的解析式为：y=2x+2，
∵要使△ABO与△ABD面积相等，则点D在与直线AB平行且到AB的距离等于点O到AB的距离的两条直线上，
∴过O点与直线AB平行的直线的解析式为：y=2x， 由
，得
，即点D（2，4），
，解得：
，
把直线y=2x向上平移4个单位得：y=2x+4，
解，得，即点D（，），
故答案为：（2，4）、（，）．
【点评】本题考查了同底等高的三角形的面积的关系，正多边形的性质，一次函数与一次函数的交点问题，解决第（2）小题的关键是找到并求出与△ABC面积相等的△ACB′的高；解决第（3）小题的关键是，求一次函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求出交点坐标．
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