题号 得分 一 二 三 总分 一、选择题（本大题共8小题，共16.0分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 下列各式运算中结果是a6是（ ）
a2 A. a3+a3 B. （a3）3 C. a12÷D. a3•a3
3. 如果关于x的多项式（2x-m）与（x+5）的乘积中，常数项为15，则m的值为（ ）
A. 3 B. -3 C. 10 D. -l0 4. 如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，则AB=AC，
CD=DE．若∠A=40°，∠ABD：∠DBC=3：4，则∠BDE=（ ）
A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°
a，b，c是三角形的三边，则代数式（a-b）2-c2的值是（ ） 5. 若
A. 正数 B. 负数 C. 等于零 D. 不能确定
6. 如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若∠B=50°，则∠EDF的度数为（ ）
A. 50° B. 40° C. 80° D. 60°
7. 如图，在△ABE中，∠A=105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB=CE，则∠B的度数是（ ）
A. 45° B. 60° C. 50° D. 55°
8. 如图，四边形ABCD中，AB=AD，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若∠BAD=α，则∠ACB的度数为（ ）
A. 45° B. α-45°
C. α
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-α D. 90°
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分） 9. 等腰三角形的一个内角为100°，这个等腰三角形底角的度数为______． 10. 对于任意实数，规定
=ad-bc，则当2x2-6x+2=0时，
=______．
11. 如图，在△ABC中，AB=AC，D，E，F分别在BC，AC，AB
BD=CE，上的点，且BF=CD，∠FDE=α，则∠A的度数是______
度．（用含α的代数式表示） H是高AD、BE所在直线的交点，12. 在△ABC中，且BH=AC，则∠ABC的度数为______ ． 13. 如图，在△ABC中，AC=6，BC=8，AB的垂直平分线DE
交AB边于点D，交BC边于点E，在线段DE上有一动点P，连接AP、PC，则△APC的周长最小值为______．
14. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，则这个等腰三角形顶角的度数
为______．
15. 已知三角形的两边长分别为5和7，则第三边上的中线长x的取值范围是______． 16. 如图，若BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，∠BAC=40°，
∠ADG=130°，则∠DGF=______．
三、解答题（本大题共12小题，共68.0分） 17. 计算下列各题：
（1）3x•6x2y
（2）（a+2b）（a-2b）
18. 如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE相交于点O，请判
断△OEF的形状，并说明理由．
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19. 先化简，再求值：（x+3）（x-3）-（-2x+1）（x-3）-4x（x-1），其中x=4．
20. 已知x7=2，y9=3，试比较x与y的大小．
21. 计算：（8x2y-4x4y3）÷（-2x2y）
E、F、C在同一条直线上，DF=BE，22. 已知：如图，点A、
∠B=∠D，AD∥BC，求证：AE=CF．
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23. 已知，如图，AB=AE，AB∥DE，∠ECB=70°，∠D=110°，求证：△ABC≌△EAD．
24. 已知：如图，AC=BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求证：
AD=BC．
25. 已知：如图，点B、C、E三点在同一条直线上，CD平
分∠ACE，DB=DA，DM⊥BE于M． （1）求证：AC=BM+CM；
（2）若AC=2，BC=1，求CM的长．
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26. 已知：线段AB．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，与线段AB交于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的基础上，点C为l上一个动点（点C不与点D重合），连接CB，过点A作AE⊥BC，垂足为点E．
①当垂足E在线段BC上时，直接写出∠ABC度数的取值范围．
②请你画出一个垂足E在线段BC延长线上时的图形，并求证∠BAE=∠BCD．
27. 已知，如图：AD是△ABC的中线，AE⊥AB，AE=AB，
AF⊥AC，AF=AC，连结EF．试猜想线段AD与EF的关系，并证明．
28. 定义：如图1，在△ABC和△ADE中，AB=AC=AD=AE，当∠BAC+∠DAE=180°时，
我们称△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，△ABC的边BC上的高线AM叫做△ADE的“顶心距”，点A叫做“旋补中心”．
（1）特例感知：在图2，图3中，△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，AM
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是“顶心距”．
①如图2，当∠BAC=90°时，AM与DE之间的数量关系为AM=______DE； ②如图3，当∠BAC=120°，ED=6时，AM的长为______． （2）猜想论证：
在图1中，当∠BAC为任意角时，猜想AM与DE之间的数量关系，并给予证明． （3）拓展应用
如图4，在四边形ABCD中，AD=AB，CD=BC，∠B=90°，∠A=60°，CD=，在四边ABCD的内部找到点P，使得△PAD与△PBC互为“顶补等腰三角形”．并回答下列问题．
①请在图中标出点P的位置，并描述出该点的位置为______； ②直接写出△PBC的“顶心距”的长为______．
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答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】解：A、a3+a3=2a3，故此选项不合题意； B、（a3）3=a9，故此选项不合题意； C、a12÷a2=a10，故此选项不合题意； D、a3•a3=a6，故此选项符合题意； 故选：D．
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及合并同类项法则分别计算得出答案． 此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：（2x-m）•（x+5）=2x2+10x-mx-5m， ∵常数项为15， ∴-5m=15， ∴m=-3． 故选：B．
根据多项式乘以多项式的法则首先把（2x-m）•（x+5）进行计算，进而得到-5m=15，再解方程即可．
此题主要考查了多项式与多项式相乘，关键是掌握计算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 4.【答案】B
【解析】解：∵AB=AC，CD=DE ∴∠C=∠DEC=∠ABC ∴AB∥DE
∵∠A=40°
∴∠C=∠DEC=∠ABC=
=70°
∵∠ABD：∠DBC=3：4
∴设∠ABD为3x，∠DBC为4x
∴3x+4x=70° ∴x=10°∵AB∥DE
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∴∠BDE=∠ABD=30°
故选：B．
根据已知及等腰三角形的性质可求得两底角的度数，再根据∠ABD：∠DBC=3：4，列方程求解即可求出∠BDE的度数．
本题考查了等边三角形的性质：等边对等角和三角形内角和定理求解． 5.【答案】B
【解析】解：∵（a-b）2-c2=（a-b+c）（a-b-c），a，b，c是三角形的三边， ∴a+c-b＞0，a-b-c＜0， ∴（a-b）2-c2的值是负数． 故选：B．
首先利用平方差公式分解因式，进而利用三角形三边关系得出即可． 此题主要考查了运用公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键． 6.【答案】A
【解析】 【分析】
本题考查的是图形翻折变换的图形能够重合的性质，以及等边对等角的性质，熟知折叠的性质是解答此题的关键.
先根据图形翻折不变的性质可得AD=DF，根据等边对等角的性质可得∠B=∠BFD，再根据三角形的内角和定理列式计算可得∠BDF的解，再根据平角的定义和折叠的性质即可求解.
【解答】
解：∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来， ∴AD=DF，
∵D是AB边的中点， ∴AD=BD， ∴BD=DF， ∴∠B=∠BFD， ∵∠B=50°，
-∠B-∠BFD=180°-50°-50°=80°∴∠BDF=180°， -∠BDF）÷2=50°∴∠EDF=（180°．
故选A.
7.【答案】C
【解析】 【分析】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
根据线段的垂直平分线的性质得到CA=CE，根据等腰三角形的性质得到∠CAE=∠E，根据三角形内角和定理得到∠ACB=2∠E，根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】
解：∵MN是AE的垂直平分线， ∴CA=CE， ∴∠CAE=∠E，
-∠ACE=2∠E， ∴∠ACB=180°
∵AB=CE， ∴AB=AC，
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∴∠B=∠ACB=2∠E， ∵∠A=105°， ∴∠B+∠E=75°，
. ∴∠B=50°
故选C． 8.【答案】D
【解析】解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E， ∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上， ∴AC垂直平分BB'， ∴AB=AB'，
∴∠BAC=∠B'AC， ∵AB=AD， ∴AD=AB'， 又∵AE⊥CD， ∴∠DAE=∠B'AE， ∴∠CAE=∠BAD=， 又∵∠AEB'=∠AOB'=90°，
-， ∴四边形AOB'E中，∠EB'O=180°
--90°=90°-， ∴∠ACB'=∠EB'O-∠COB'=180°-， ∴∠ACB=∠ACB'=90°
故选：D．
连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC=∠B'AC，∠DAE=∠B'AE，即可得出∠CAE=∠BAD=，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到-． ∠ACB=∠ACB'=90°
本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的
关键是作辅助线构造四边形AOB'E，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
9.【答案】40°
【解析】解：∵100°为三角形的顶角，
-100°2=40°∴底角为：（180°）÷．
故答案为：40°．
因为三角形的内角和为180°，所以100°只能为顶角，从而可求出底角． 本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，从而可求出解． 10.【答案】-1
【解析】解：由2x2-6x+2=0，得到2x2-6x=-2，即x2-3x=-1， 则原式=（x-1）2-x（4-x） =x2-2x+1-4x+x2 =2x2-6x+1 =2（x2-3x）+1
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=-2+1 =-1．
故答案为：-1
原式利用题中的新定义化简后，将已知等式变形代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
-2α 11.【答案】180°
【解析】解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C，
在△BDF和△CED中，
，
∴△BDF≌△CDE ∴∠EDC=∠DFB
-∠A）÷2=90°-∠A， ∴∠EDF=∠B=（180°∵∠FDE=α，
-2α， ∴∠A=180°
-2α 故答案为：180°
根据已知条件可推出BDF≌△CDE，从而可知∠EDC=∠FDB，则∠EDF=∠B．
本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质及三角形内角和定理；此题能够发现全等三角形，再根据平角的定义和三角形的内角和定理发现∠EDF=∠B．再根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质进行推导．
或135°12.【答案】45°
【解析】解：有2种情况，如图， ∵BH=AC，∠BEC=∠ADC， ∠AHE=∠BHD，∠HAE+∠C=90°， ∠HAE+∠AHE=90°，∴∠C=∠AHE， ∴∠C=∠BHD， ∴△HBD≌△CAD， ∴AD=BD．
如图1时∠ABC=45°； 如图2时∠ABC=135°． ∵HE⊥AC，
∴∠C+∠EBC=90°①， ∵∠HDC=90°， ∴∠H+∠HBD=90°②， ∵∠HBD=∠EBC③，
∴由①②③可得，∠C=∠H， ∵BH=AC，∠ADC=∠BDH， ∠C=∠H，
∴△HBD≌△CAD， ∴AD=BD， ∴∠ABD=45°， ∠ABC=135°；
故答案为：45°或135°
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根据高的可能位置，有2种情况，如图1、图2，通过证明△HBD≌△CAD得AD=BD后求解
本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．做题时要考虑全面，相等两种情况． 13.【答案】14
【解析】解：如图，连接BP， ∵DE垂直平分AB， ∴AP=BP，
∴AP+PC=BP+PC，
∴当点B，P，C在同一直线上时，AP+PC的最小值等于BC
长，
∴△APC的周长最小值为BC+AC=8+6=14， 故答案为：14．
依据DE垂直平分AB，可得AP=BP，即可得到AP+PC=BP+PC，依据当点B，P，C在同一直线上时，AP+PC的最小值等于BC长，即可得到△APC的周长最小值为BC+AC． 本题考查的是轴对称-最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
或125°14.【答案】55°
【解析】解：如图（1）， ∵AB=AC，BD⊥AC， ∴∠ADB=90°， ∵∠ABD=35°， ∴∠A=55°； 如图（2），
∵AB=AC，BD⊥AC， ∴∠BDC=90°， ∵∠ABD=35°， ∴∠BAD=55°， ∴∠BAC=125°；
综上所述，它的顶角度数为：55°或125°． 故答案为：55°或125°．
分别从△ABC是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案．
此题考查了等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
15.【答案】1＜x＜6
【解析】 【分析】
有关三角形的中线问题，通常要倍数延长三角形的中线，把三角形的一边变换到与另一边和中线的两倍组成三角形，再根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解． 【解答】
解：如图所示，AB=5，AC=7， 延长AD至E，使AD=DE，
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在△BDE与△CDA中，
∵AD=DE，BD=CD，∠ADC=∠BDE， ∴△BDE≌△CDA， ∴AE=2x，BE=AC=7，
在△ABE中，BE-AB＜AE＜AB+BE，即7-5＜2x＜7+5， ∴1＜x＜6．
故答案为1＜x＜6．
16.【答案】150°
【解析】解：∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC， ∴AD是∠BAC的平分线， ∵∠BAC=40°， ∴∠CAD=∠BAC=20°，
+130°=150°∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=20°． 故答案为：150°．
先根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上得到AD是∠BAC的平分线，求出∠CAD的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解．
本题考查了角平分线的判定与三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，仔细分析图形是解题的关键． 17.【答案】解：（1）原式=18x3y； （2）原式=a2-（2b）2 =a2-4b2．
【解析】（1）根据同底数幂的乘法法则运算； （2）利用平方差公式计算．
本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即（a+b）（a-b）=a2-b2．
18.【答案】解：△OEF的形状为等腰三角形． 理由如下：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE． 在△ABF与△DCE中，
．
∴△ABF≌△DCE（SAS）． ∴∠AFB=∠DEC．
∴OE=OF，即△OEF的形状为等腰三角形．
【解析】本题主要考查三角形全等的判定和全等三角形对应角相等的性质及等腰三角形的判定；根据BE=CF得到BF=CE是证明三角形全等的关键．
根据BE=CF得到BF=CE，又AB=DC，∠B=∠C，所以△ABF≌△DCE，根据三角形全等得∠AFB=∠DEC，所以是等腰三角形．
19.【答案】解：原式=x2-9-（-2x2+6x+x-3）-（4x2-4x）， =x2-9+2x2-6x-x+3-4x2+4x， =-x2-3x-6，
当x=4时，原式=-16-12-6=-34．
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【解析】首先利用平方差、多项式乘以多项式和单项式乘以多项式计算乘法，再算加减，化简后，再代入x的值计算即可．
此题主要考查了整式的混合运算，关键是掌握有乘方、乘除的整式混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． 20.【答案】解：∵x63=（x7）9=29=512， y63=（y9）7=37=2187，2187＞512， ∴x63＜y63， ∴x＜y．
【解析】根据幂的乘方法则对要求的式子进行变形，然后进行比较即可得出答案． 此题考查了幂的乘方，解题的关键是灵活运用有关公式对要求的式子进行变形．
（-2x2y）-4x4y3÷（-2x2y）， 21.【答案】解：原式=8x2y÷
=-4+2x2y2．
【解析】利用多项式除以单项式的计算法则进行计算即可．
此题主要考查了整式除法，关键是掌握单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．
22.【答案】证明：∵AD∥BC， ∴∠A=∠C，且∠B=∠D，DF=BE， ∴△ADF≌△CBE（AAS） ∴AF=CE
∴AF-EF=CE-EF ∴AE=CF
【解析】由平行线性质可得∠A=∠C，由“AAS”可证△ADF≌△CBE，可得AF=CE，即可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．
得∠ACB=110°23.【答案】证明：由∠ECB=70°
又∵∠D=110°
∴∠ACB=∠D ∵AB∥DE ∴∠CAB=∠E
∴在△ABC和△EAD中
∴△ABC≌△EAD（AAS）．
【解析】由∠ECB=70°得∠ACB=110°，再由AB∥DE，证得∠CAB=∠E，再结合已知条件AB=AE，可利用AAS证得△ABC≌△EAD．
本题是全等三角形证明的基础题型，在有些条件还需要证明时，应先把它们证出来，再把条件用大括号列出来，根据等三角形证明的方法判定即可． 24.【答案】证明：连接DC， ∵AD⊥AC，BC⊥BD， ∴∠A=∠B=90°，
在Rt△ADC和Rt△BCD中
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，
∴Rt△ADC≌Rt△BCD（HL）， ∴AD=BC．
【解析】连接CD，利用HL定理得出Rt△ADC≌Rt△BCD进而得出答案．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
25.【答案】（1）证明：作DN⊥AC于N， ∵CD平分∠ACE，DM⊥BE ∴DN=DM，
在Rt△DCN和Rt△DCM中，
∴Rt△DCN≌Rt△DCM（HL）， ∴CN=CM，
在Rt△ADN和Rt△BDM中，
∴Rt△ADN≌Rt△BDM（HL）， ∴AN=BM， ∵AC=AN+CN， ∴AC=BM+CM．
（2）解：∵AN=AC-CN，BM=BC+CM， ∴AC-CN=BC+CM， ∴AC-CM=BC+CM， ∴2CM=AC-BC， ∵AC=2，BC=1， ∴CM=0.5．
【解析】（1）作DN⊥AC于N，易证Rt△DCN≌Rt△DCM，可得CN=CM，进而可以证明Rt△ADN≌Rt△BDM，可得AN=BM，即可解题； （2）利用（1）中的结论变形得出答案即可．
本题考查了直角三角形全等的判定，考查了直角三角形对应边相等的性质，本题中求证CN=CM，AN=BM是解题的关键．
26.【答案】解：（1）直线l即为所求作的直线．（见图1）
（2）①45°≤∠ABC＜90°．
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理由如下：连接AC，
当∠ACB≤90°时垂足E在线段BC上， ∵CD垂直平分AB， ∴CA=CB，
∴∠CAB=∠CBA， ∵2∠CBA+∠ACB=180°， ∴2∠CBA≥90° ∴∠CBA≥45°
∵∠CBA是锐角，
∴45°≤∠CBA＜90°
②在图2中，
证明：∵线段AB的垂直平分线为l， ∴CD⊥AB， ∵AE⊥BE，
∴∠AEB=∠BDC=90°，
∴∠BAE+∠B=∠BCD+∠B=90°， ∴∠BAE=∠BCD．
【解析】（1）利用作已知线段的垂直平分线的法作图即可； （2）①根据锐角三角形的高在三角形内即可解决． ②利用等角的余角相等证明．
本题考查垂直平分线的作法、三角形的高、都等角的余角相等等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键．
27.【答案】猜想：EF=2AD，EF⊥AD．
证明：延长AD到M，使得AD=DM，连接MC，延长DA交EF于N，
∴AD=DM，AM=2AD，
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∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD，
∵在△ABD和△MCD中，
∴△ABD≌△MCD，（SAS） ∴AB=MC，∠BAD=∠M， ∵AB=AE， ∴AE=MC，
∵AE⊥AB，AF⊥AC， ∴∠EAB=∠FAC=90°，
∵∠FAC+∠BAC+∠EAB+∠EAF=360°， ∴∠BAC+∠EAF=180°， ∵∠CAD+∠M+∠MCA=180°， ∴∠CAD+∠BAD+∠MCA=180°， 即∠BAC+∠MCA=180°， ∴∠EAF=∠MCA． ∵在△AEF和△CMA中，
， ，
∴△AEF≌△CMA，（SAS） ∴EF=AM，∠CAM=∠F， ∴EF=2AD； ∵∠CAF=90°，
∴∠CAM+∠FAN=90°， ∵∠CAM=∠F， ∴∠F+∠FAN=90°， ∴∠ANF=90°， ∴EF⊥AD．
【解析】猜想：EF=2AD，EF⊥AD．
证明：延长AD到M，使得AD=DM，连接MC，延长DA交EF于N，易证BD=CD，即可证明△ABD≌△MCD，可得AB=MC，∠BAD=∠M，即可求得∠EAF=∠MCA，即可证明△AEF≌△CMA，可得EF=AM，∠CAM=∠F，即可解题．
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABD≌△MCD和△AEF≌△CMA是解题的关键．
28.【答案】解：（1） 2
（2）猜想：结论AM=DE．
理由如下：如图，过点A作AN⊥ED于N
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∵AE=AD，AN⊥ED ∴∠DAN=∠DAE，ND=DE 同理可得：∠CAM=∠CAB， ∵∠DAE+∠CAB=180°， ∴∠DAN+∠CAM=90°，
∵∠CAM+∠C=90°
∴∠DAN=∠C， ∵AM⊥BC
∴∠AMC=∠AND=90°
在△AND与△AMC中，
∴△AND≌△AMC（AAS）， ∴ND=AM ∴AM=DE
（3）点P是线段BC的垂直平分线与AC的交点，
【解析】解：（1）①∵∠BAC=90°，∠BAC+∠DAE=180°
∴∠DAE=∠BAC=90°
∵AB=AC，∠BAC=90°，AM⊥BC ∴AM=BM=CM=BC
∵AB=AC=AD=AE，且∠DAE=∠BAC=90°∴△DAE≌△CAB（SAS） ∴BC=DE， ∴AM=DE 故答案为：
②∵∠BAC=120°，∠BAC+∠DAE=180°
∴∠DAE=60°，
∵AB=AC=AD=AE，∠DAE=60°，∠BAC=120°， ∴∠ABM=30°，△ADE是等边三角形 ∴AB=2AM，DE=AD=AE=6=AB， ∴AM=3
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故答案为：3 （2）见答案
（3）①如图，线段BC的垂直平分线交AC于点P，连接DP，BP，
理由如下：∵AD=AB，CD=BC，且AC=AC ∴△ADC≌△ABC（SSS）
∴∠ABC=∠ADC=90°，∠DAC=∠BAC=∠DAB=30°∴∠ACB=60°，AC=2BC
∵PN垂直平分BC
∴PC=PB，且∠ACB=60°
∴△PBC是等边三角形，
∴AC=PC，∠BPC=60° ∴AP=PC，且∠ADC=90°
∴AP=DP
∴△ADP是等腰三角形，∠ADP=∠DAP=30°， ∴∠APD=120°，
∴∠APD+∠BPC=180°
∴△PAD与△PBC互为“顶补等腰三角形”．
故答案为：线段BC的垂直平分线交AC于点P， ②如图，过点P作PH⊥AD于点H，
∵∠DAC=30°，PH⊥AD，∠ADC=90°∴HP=AP，AC=2CD=2∵AP=PC
∴AP= ∴PH=
∴△PBC的“顶心距”的长为 故答案为：
【分析】（1）①由等腰直角三角形的性质可得AM=BM=CM=BC，由全等三角形性质可得BC=DE，即可求解；
②由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求解；
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（2）过点A作AN⊥ED于N，由等腰三角形的性质可得∠DAN=∠DAE，ND=DE，由全等三角形的性质可得ND=AM，则可得结论； （3）①由“顶补等腰三角形”定义可求解； ②由“顶心距”的定义可求解．
本题是四边形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，理解题意，运用“顶补等腰三角形”的定义解决问题是本题的关键．
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