牛顿-莱布尼茨公式的详细证明

牛顿—莱布尼茨公式

 前言

此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。

公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认可积的。

所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！ (Ps：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字)

 定积分性质的证明

首先给出定积分的定义：

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n个区间[a,x1],[x1,x2]…[xn,xn-1]，其中x0=a，xn=b，第i个小区间∆xi= xi-xi-1(i=1,2…n)。 由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一个小矩形的面积可表示为∆Si=f(εi) ∆xi ,为此定积分可以归结为一个和式的极限

n bf(x)dxlimf(i)xi即： ani1

b性质1：证明cdx = C(b-a)，其中C为常数.

a

f(x)dxlimf(i)xilimc(x1x0x2x1...xnxn1) anni1

limc(xnx0)c(ba)n

几何上这就是矩形的面积

性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C为常数.

设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K

F(x)G(x)z(x)

K(x)F(x)G(x)z(x)z(x)0

bnK(x)limK(xx)K(x)0x0x精选资料，欢迎下载

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即对任意的x∈K,都存在一个以|x|为半径的区间,使得K(x+x)=K(x)

∴函数值在K内处处相等，K(x)=C K(x)为一直线

即: F(x)-G(x)=C

bb性质3：如果f(x)≤g(x),则 f(x)dxg(x)dxaa

设k(x)=f(x)-g(x),有k(x)≤0.

n bk(x)dxlimk(i)xi0

ani1 bbbb 即 k(x)dx[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx0aaaa

bb f(x)dxg(x)dxaa

 相关定理的证明

介值定理：设f(x)在区间[a,b]上连续，当x∈[a,b],取m为f(x)的最小值,M为f(x)的最大值,对于任意的一个介于m,M的数C,至少存在一点ε∈(a,b),有f(ε)=C

证明：

运用零点定理:

设f(x)在[a,b]上连续,若f(a)*f(b)<0,则至少存在一点ε∈(a,b),有f(ε)=0

设x1,x2∈[a,b],且x1则：g(x1)=f(x1)-C<0 g(x2)=f(x2)-C>0

即: g(x1)*g(x2)<0 由零点定理得，至少存在一点ε∈(x1,x2),有

g(ε)=0= f(ε)-C => f(ε)=C

Ps: 在这里，零点定理在高中应该有介绍，很美妙的一个定理，在几何上有明显 的意义，通俗的理解是：有两个点，一个大于0（在x轴上方），一个小于

0(在x轴下方)，要用一条连续的线把它连起来，那么势必至少会与x轴有一个交点。严格的证明这里就不了，其实我也不太懂，有兴趣的可以上网查

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查.

积分中值定理: 若函数 f(x)在区间[a, b]上连续,，则在区间 [a, b]上至少 b存在一个点ε∈(a,b),有 f(x)dxf()(ba)a

几何意义:曲线所围成的面积总有一个以积分区间为长的矩形面积与之相等

设f(x)在区间[a, b]的最大值为M，最小值为m，即：m≤f(x)≤M

bbb  amdxaf(x)dxaMdx b m(ba)f(x)dxM(ba)a

b

f(x)dx amM ba

由介值定理：在区间 [a, b]上至少存在一个点ε∈(a,b)，有

b

f(x)dx af()

ba

 积分上限函数(变上限的定积分)的定义

b

f(x)dx的值由区间[a,b]与 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则定积分 ab

f(t)dtf(x)决定，与积分变量的记号x无关，因此可以记为 a xxf(t)dt，当x∈[a,b]时，都会有一个由积分 f(t)dt而对于积分 aa xf(t)dt是上限x的函数.记为： 所确定的值与之对应，因此积分 a

x

(x)f(t)dt a

下面证明

显然，我们好自然会从左边证起，因为我们要运用φ(x)的定义，用到导数的定

(x)f(x)精选资料，欢迎下载

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义，更重要的是，因为我们要落笔，而不是呆呆的看。(因为有的人是在看，有的人是在观察，这明显存在很大的差别)

xxx f(t)dtf(t)dt(xx)xaa (x)limlimx0x0 xxaxxxx

f(t)dtf(t)dtf(t)dt xaxlimlim x0x0xx

由积分中值定理，有： xxf(t)dtf()x(其中是在x与x+x之间) x

xx f(t)dtf()xx (x)limlimlimf()x0x0x0 xx

这就是你想看到的，显然，当x->0时，->x

(x)limf()f(x) x0

 通往真相的最后一步

b

f(x)dxF(b)F(a)证明: a

设F(x)为f(x)的原函数

x

f(t)dt也 是f(x)的一个原函数 (x)a

由性质2：f(x)的任意两个原函数之间相差一个常数C,有

F(x)(x)C

F(b)(b)CF(a)(a)Cba

 F(b)F(a)(b)aaf(t)dtaf(t)dt abbb而f(t)dt0f(t)dt与积分变量无关f(t)dt

aaaa

b F(b)F(a)f(x)dx

f(x)dxa精选资料，欢迎下载

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相信你以后用它的时候会更加坚定，更加自然. End.

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