——公式与割补
内容提要
本讲主要讲解与圆和扇形有关的概念，及周长、面积公式等．下面我们来说说这方面的基础知识． 圆是我们在生活中经常见到的图形，它也是最完美的平面图形：有无数条通过圆心的对称轴，绕圆心旋转任何角度还保持原状．而且，所有的平面图形在周长相同的情况下，圆的面积是最大的．
我们知道，圆的周长和直径的比值是一个固定不变的数，这正是圆周率，用π表示．另外，一般把直径记作d，半径记作r，如图1所示．
r d 图1
所以，圆的周长Cd2r，圆的面积Sr2．
如图3，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形．它是圆的一部分，所以关于扇形的各种计算可以应用圆里面的结论．
n°
r 图3
扇形的圆心角为n°时，它的弧长和面积应该分别是圆周长和圆面积的所以，扇形弧长=n． 360nn2r，面积=r2． 360360我们先来熟悉一下这些公式． 练习：
1. 半径是2的圆的面积和周长分别是多少？
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2. 直径是5的圆的面积和周长分别是多少？
3. 周长是10π的圆的面积是多少？
4. 面积是9π的圆的周长是多少？
例题
一、 基本公式运用
例题1.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积和周长各是多少？（圆周率按3.14计算） 例题2. 已知扇形面积为18.84平方厘米，圆心角为60°，则这个扇形的半径和周长各是多少？ （圆周率按3.14计算）
60°
随堂练习：
1. 已知一个扇形的弧长为0.785厘米，圆心角为45o，这个扇形的半径和周长各是多少？
2. 扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是多少？
3. 如图，直角三角形ABC的面积是45，分别以B，C为圆心，3为半径画圆．已知图中阴影部分的面积
是35.58．请问：角A是多少度？（π取3.14）
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A B C
二、 圆中方，方中圆
4. 如图，左下图和右下图中的正方形边长都是2，那么大圆、小圆的面积分别为________、________．
随堂练习：
1. 已知外面大圆的半径是4，里面小圆的面积是多少？（答案用π表示）
二、割补法
5. 求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按3.14计算）： （1） （2）
随堂练习：
3 求下图中阴影部分圆周率按3.14计
2
（
1
） （ 2 ）
2 的面积（图中长度单位为厘米，算）：
第 3 页 7 4
求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按3.14计算）： （1） （2）
2
6. 已知图中正方形的边长为2，分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交于正方形中心，那么图中阴影部分的面积为________．（答案用表示）
7. 根据图中所给数值，求下面图形的外周长和总面积分别是多少？（π取3.14）
2
4
作业：
1. 半径为4厘米的圆的周长是________厘米，面积是________平方厘米；
2. 半径为4厘米，圆心角为90的扇形周长是________厘米，面积是________平方厘米．（取3.14）
3. 家里来客人了，淘气到超市买了4瓶啤酒，售货员阿姨将4瓶啤酒捆扎在一起
（如下图所示），捆4圈至少要用绳子________厘米．（取3.14，接头处忽略不计）
4. 求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按3.14计算）：
7厘米 O 1 第 4 页 1
1
（1） （2）
10 10
5. 下列图形中的正方形的边长为2，则下图中各个阴影部分面积的大小分别为______、______．（取
3.14）
6. 用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小
的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？
圆与扇形
旋转与重叠
知识总结：
O 学习如何利用割补法和包含排除的思想计算图形中特定部分的面积；学会分析几何图形的运动过程，并由此得出点的轨迹和图形扫过的区域．
例题：
一、 重叠问题
例题1.下图中甲区域比乙区域的面积大57平方厘米，且半圆的半径是10厘米，那么其中直角三角形的另一条直角边的长度是多少？（圆周率取3.14）
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甲 乙
例题2.下图中有一个等腰直角三角形ABC，一个以AB为直径的半圆，和一个以BC为半径的扇形．已知ABBC10厘米．图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（π取3.14）
A E D C 随堂练习
B
1. 如图17-13，以AB为直径做半圆，三角形ABC是直角三角形，阴影部分①比阴影部分②的面积小28
平方厘米，AB长40厘米．求BC的长度．（取3.14．）
C ②
① B
A
例题3.如图，直角三角形的两条直角边分别为3和5，分别以三条边做了3个半圆（直角顶点在以斜边为直径的半圆上），那么阴影部分的面积为______．
4 5 3
例题4.图1是一个直径是3厘米的半圆，AB是直径．如图2所示，让A点不动，把整个半圆逆时针转60°，此时B点移动到C点．请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14）
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C 60 图1
A 图2
B
二、 动态扫面积问题
例题5.如图，正方形ABCD边长为1厘米，依次以A、B、C、D为圆心，以AD、BE、CF、DG为半径画出四个直角扇形，那么阴影部分的面积为________平方厘米．（取3.14）
E A F B D C H
G
例题6.如图所示，以等边三角形的B、C、A三点分别为圆心，分别以AB、CD、AE为半径画弧，这样形成的曲线ADEF被称为正三角形ABC的渐开线，如果正三角形ABC的边长为3厘米，那么此渐开线的长度为多少厘米，图中I、II、III三部分的面积之和是多少平方厘米？
III C A I B II D
E
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三、 运动圆扫面积
例题7.图中正方形的边长是4厘米，而圆环的半径是1厘米．当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，其扫过的面积有多大？（π取3.14）
随堂练习
1. 图中长方形的长是10厘米，宽是4厘米，而圆环的半径是1厘米．当圆环绕正方形无滑动地滚动一
周又回到原来位置时，其扫过的面积有多大？（π取3.14）
例题8.图中等边三角形的边长是3厘米，而圆环的半径是1厘米．当圆环绕等边三角形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，其扫过的面积有多大？（π取3.14）
思考题
如图所示，一只小狗被拴在一个边长为4米的正五边形的建筑物的一个顶点处，四周都是空地．绳长刚好够小狗走到建筑物外墙边的任一位置．小狗的活动范围是多少平方米？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，π取3）
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狗
作业：
1. 图17-14由一个长方形与两个90角的扇形构成，其中阴影部分的面积是_______平方厘米．（取
3.14．）
2 5 图17-14
2. 图中有一个矩形和两个半径分别为5和2的直角扇形，那么两个阴影部分的面积相差为
_______．（π取3.14）
3. 如图，直角三角形的两条直角边长分别是10cm和6cm，分别以直角边为直径作出两个半圆，这
两个半圆的交点恰好落在斜边上，那么阴影部分的面积是_______cm2．（取3.14） （1730）
6cm 10cm
4. 图1是一个直径是3厘米的半圆，AB是直径．如图2所示，让A点不动，把整个半圆逆时针转
60°，此时B点移动到C点．请问：图中阴影部分的面积是_______平方厘米（π取3.14）
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C C 40 图1
A 图2
B
5. 图中正方形的边长是6厘米，而圆环的半径是1厘米．当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到
原来位置时，其扫过的面积有______．（π取3.14）
6. 图中等边三角形的边长是5厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕等边三角形滚动一周又回到原
来位置时，扫过的面积有________．（π取3.14）
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