6种曲线元上的道路中桩坐标解算

第３１卷，第４期　中　南　公　路　工　程　Ｖｏ１．３１，Ｎｏ．４　２　０　０　６年８月　Ｃｅｎｔｒａｌ　Ｓｏｕｔｈ　Ｈｉｇｈｗａｙ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ａｕｇ．，２　０　０　６　６种曲线元上的道路中桩坐标解算　刘连旺　，覃辉　（１．广西电力工业勘察设计研究院，广西　南宁５３００２３　２．五邑大学，广东江门　５２９０２０）　［摘要］当前线路平、纵、横设计要素面向的对象仍为为传统的施工测量手段，鉴于测量仪器及计算机的进　步，设计要索的选择必须有利于快速、精确的获取施工放样数据。为建立统一数学模型，实现道路放样的数字化，　避开了线路平面线形设计中常规组合方式，提出了曲线元的概念，统一概括为６种曲线元，通过坐标换算把曲线元　上点位坐标统一到测量坐标系中。　［关键词］回旋线；统一数学模型；曲线元；中桩测量坐标　［中图分类号］Ｕ　４１２．３３　［文献标识码］Ａ　［文章编号］１００２—１２０５（２００６）０４￣００７２一Ｏ５　Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ　ｏｆ　Ｒｏａｄ　Ｃｅｎｔｅｒ—ｓｔａｋｅ　ｏｎ　Ｓｉｘ　Ｋｉｎｄ　ｏｆ　Ｃｕｒｅ　Ｕｎｉｔｅ　ＬＩＵ　Ｌｉａｎｗａｎｇ　，ＱＩＮ　Ｈｕｉ２　（１．Ｇｕａｎｇｘｉ　Ｅｌｅｃｔｉｒｃ　Ｐｏｗｅｒ　Ｉｎｄｕｓｔｙｒ　Ｒｅｃｏｎｎａｉｓｓａｎｃｅ　Ｄｅｓｉｇｎ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ｎａｎｌｉｎ，Ｇｕａｎｇｘｉ　５３００２３，　Ｃｈｉｎａ；　２．Ｗｕｙｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉａｎｇｍｅｎ，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ　５２９０２０，Ｃｈｉｎａ）　［Ａｂｓｔｒａｃｔ］Ｔｈｅ　ｏｂｊｅｃｔ　ｗｈｉｃｈ　ｔｈｅ　ｐｌａｎｅ、ｔｈｅ　ｌｏｎｇｉｔｕｄｉｎａｌ　ｓｅｃｔｉｏｎ、ｔｈｅ　ＣＲＯＳＳ　ｓｅｃｔｉｏｎ　ｄｅｓｉｇｎ　ｆａｃｅ　ｔｏ　ｉｓ　ｓｔｉｌｌ—　Ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ　ｓｕｒｖｅｙ　ｍｅｔｈｏｄ　ａｔ　ｐｒｅｓｅｎｔ．Ａｓ　ａ　ｒｅｓｕｌｔ　ｏｆ　ｓｕｒｖｅｙ　ｅｑｕｉｐｍｅｎｔ　ａｎｄ　ｃｏｍｐｕｔｅｒ　ｐｒｏｇｒｅｓｓ，ｔｈｅ　ｃｈｏｉｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｄｅｓｉｇｎ　ｆａｃｔｏｒ　ｍｕｓｔ　ｂｅ　ａｄｖａｎｔａｇｅｏｕｓ　ｔｏ　ｇａｉｎｉｎｇ　ｐｒｅｃｉｓｅ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ　ｌｏｆｔｉｎｇ　ｄａｔａ　ｆａｓｔｌｙ　Ｉｎ　ｏｒｄｅｒ　ｔｏ　ｅｒａｌｉｚｅ　ｔｈｅ　ｒｏａｄ　ｌｏｃａｔｉｏｎ　ｄｉｇｉｔｉｚａｔｉｏｎ　ｔｈｉｓ　ａｒｔｉｃｌｅ　ａｖｏｉｄｓ　ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａｌ　ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ　ｗａｙ　ｉｎ　ｐｌａｎｅ　ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　ｄｅｓｉｇｎ　ａｓｐｅｃｔ．ｐｕｔｓ　ｆｏｒｗａｒｄ　ｔｈｅ　ｃｏｎｃｅｐｔ　ｏｆ　ｃｕｒｅ　ｕｎｉｔｅ　ｉｎ　ｏｒｄｅｒ　ｔｏ　ｅｓｔａｂｌｉｓｈ　ｔｈｅ　ｕｎｉｉｆｅｄ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｍｏｄｅ１．ｔｈｅ　ｕｎｉｆｉｃａ—　ｔｉｏｎ　ｓｕｍｍａｒｙ　ｉｓ　ｓｉｘ　ｋｉｎｄ　ｏｆ　ＣＵｒｅ　ｕｎｉｔｅ．Ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｅ　ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ　ｏｆ　ｒｏａｄ　ｃｅｎｔｅｒ－ｓｔａｋｅ　ｏｎ　ｃｕｒｅ　ｕｎｉｔｅ　ｔｏ　ｕｎｉｆｉｃａ—　ｔｉｏｎ　ｓｕｒｖｅｙ　ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ｔｈｒｏｕｇｈ　ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ．　［Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ］ｍａｎｅｕｖｅｒ　ｌｉｎｅ；ｕｎｉｆｉｅｄ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｍｏｄｅｌ；ｃｕｒｅ　ｕｎｉｔｅ；ｃｅｎｔｅｒ—ｓｔａｋｅ　ｓｕｒｖｅｙ　ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ　道路平面曲线类型有数十种，且无规律，所以不　便于编程实现。其实，道路中线的平面位置由直、　缓、圆三要素组合而成…，我国道路设计规范中缓和　曲线采用回旋线。回旋线有以下４种曲元：①曲率　半径由无穷大渐变到一定值的完全回旋线；②曲　率半径由大渐变到小；③曲率半径由定值渐变到　无穷大；④曲率半径由小渐变到大。本文演算６种　曲线元随意一种组合方式（见图１）。　已知：　为线路起点，　为终点，‘，．～．，　为曲线　图１　总图　多曲元组合　Ｆｉｇｕｒｅ　１　ｃｏｍｔｉｎａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｍａｎｙ　ｃｕｒｖｉｌｉｎｅｒａ　ｅｌｅｍｅｎｔｓ　元问结点，￡。一￡　为各曲元弧长，Ｒ。一Ｒ　为结点处　曲率半径，　点测量坐标为（　，，　，），方位角为ａ，。　Ｊ０ｆｘｎ．ＹＪ０、Ｐｉ　Ｊ　１　直线　图２直线段曲元　从图１中提取曲元１（见图２），该曲元为直线段。　Ｆｉｇｕｒｅ　２　ｌｉｎｅａｒ　ｅｌｅｍｅｎｔ　［收稿日期】２００５—０９－０５　［作者简介】刘连旺（１９６９一），男，内蒙古乌兰察布盟人，工程师。主要从事工程测量及道路测设数字化研究。　维普资讯 http://www.cqvip.com

第４期　刘连旺，等：６种曲线元上的道路中桩坐标解算　７３　到起点Ｊ。直线长　处Ｐ　点的测量坐标：　ｄ　ｄ　ｙＪ。＝ｙＪ。＋　￣　）Ｊ　”ｏＸｊ￣＋Ｌｉ　ｃｏＳａＪＬｉ　ｓｉｎａｉ㈩［・一（　Ｌ２）　＋　下一曲元起点沿测量方向切线方位角：　Ｏｔｊ：ｄ，ｌ。　（２）　２完全回旋线　从图１中提取曲元２，该曲元为曲率半径由无　穷大渐变到Ｒ　的完全回旋线；取曲率半径无穷大　点Ｊ　为坐标原点，建立局部独立坐标系（见图３），　圈３　曲率半径无穷大到定值回旋线　Ｆｉｇｕｒｅ　３　ｃｕｒｖａｔｕ￣ｒａｄｉｕｓ　ｏｆ　ｓｐｉｒａｌ　ｌｉｎｅ　ｆｒｏｍ　ｉｎｆｉｎｉｔｙ　ｔｏ　ｆｉｘｅｄ　ｖａｌｕｅ　图３中Ｐ：为到结点Ｊ　弧长Ｌ处的点，ｄ　为微分弧　长，略为微分角，ｄｘ、ｄｙ分别为ｄ　在独立坐标系　：ｐ：、Ｙ轴上的投影长，　、　，　分别为Ｐ：、Ｊ：点的切线　角。据回旋线的特性：曲线上任一点的曲率半经｜Ｄ　与该点至半径为无穷大点之弧长Ｌ成反ｔＺ，即：　｜Ｄ・Ｌ＝Ａ　（Ａ为常数）　当ｐ＝Ｒ　，Ｌ＝Ｌ　时，Ａ　＝Ｒ　・Ｌ　。据曲率定义　有：　一生　ＩＤ—ｄ　所以：　＝　古＝　Ｌ　＝　上式两端取积分：　Ｌ　２　＝　（３）　当Ｌ＝Ｌ２时：　Ｌ２　（４）　：　另有：　ｄ　：ｄｘｅ　２　三　：：．　ｉｎ　）｝取ｓｉｎ　与ｃ。０　的ｓ　的级　（　Ｌ２）　一…】　ｄｙｅ　２　［　一（丽ａ２）　＋　（　Ｌ２）　一…］　上式积分得Ｐ　点在独立坐标系中的坐标：　Ｌ５　＝　一　（５）　Ｙｅ２　—６Ｒ—２Ｌ２　当Ｌ＝Ｌ　时，得下一曲元起点．，：在局部独立　坐标系中的坐标：　ｙ　ＩＩ　＝　一　一２丽　　Ｌ～～Ｒ　一４　　：利用式（１）、式（２）结果，并通过坐标变换可得　Ｐ：、．，：点在测量坐标系中的坐标：　Ｘ　＝ＸＩ＋　Ｐ。ＣＯＳｆｆｊ一Ｋ’Ｙ　。ｓｉｎ　』２１２１２ｌ　ｌ，尸２　＝　Ｙｊｌ＋　尸２‘ｓｉｎａ￣１＋Ｋ‘Ｙ尸’ｃｏｓ　Ｊ２ｌ　ｙＪ＝２ｙＪｌ＋二　＾　ｓ　ｉｎａｊ　ｌ＋　Ｋ‘　ｃｏｓａ，ｌ　Ｊ　㈦　下一曲元起点Ｊ　沿测量方向切线方位角：　Ｏｔｊ＝Ｏｔｊ２１＋Ｋ。　（７）　其中Ｋ为常数，当曲元左转时取“一１”；否则取　“１”。　３圆曲线　］　从图１中提取曲元３，该曲元为半径恒为Ｒ　的　圆曲线，取．，　结点为坐标原点建立局部独立坐标系　（见图４）。到该曲元起点Ｊ　弧长　处Ｐ　点及该曲　元终点（下一曲元起点）Ｊ　切线角：　ＬＬ３　＝　，　＝　Ｐ　、Ｊ　点在局部独立坐标系中的坐标：　Ｒ，．ｓｉｎ　Ｌ＝；Ｙｅｓ＝　・１一ｃ。ｓ瓦Ｌ）　＝　，－ｓｉｎ可Ｌ３；ＹＪｓ＝Ｒ，・１一ｃ。ｓ　Ｌ３）　维普资讯 http://www.cqvip.com

７４　中南公路工程　Ｄ一　第３１卷　ｎ　＝—　！＿ｌ＋　４　，　Ｌｏ—ｊ　，Ｆｉｇｕｒｅ　４　ｃｉｒｃｌｅ＇ｃｕｒｖｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ　。一２Ｒ　卢：＋Ｌ’４　　）　，　一　利用式（６）、式（７）结果，并通过坐标变换可得　Ｐ　、Ｊ　在测量坐标系中的坐标：　：ｘ』　＋　Ｐ３　ＣＯ￥０ｔｊ一Ｋ　ｙＰ３　ｓｉｎａ￣２２　＝　＋ＸＰｓｉｎ％＋Ｋ‘ｙＰ］ＣＯＳ￣ｊ３　２２　ｙＪ＝　＋ＸＪｓｉｎ％∞　＋Ｋ’ＣＯＳＯｔｊｎｎ　ｌ（３３　２　Ｊ　。。８）２　　下一曲元起点Ｊ　沿测量方向切线方位角：　口』．＝口，＾＋Ｋ・ＰＪ　，　（）９　４小半径渐变到大半径的非完全回旋线　从图１中提取曲元４，该曲元为由小半径Ｒ　渐　变到凡的非完全回旋线，设０点为曲率半径无穷大　点，且取该点为坐标原点，建立局部独立坐标系（见图　５），设坐标原点０到Ｊ４的弧长为　０　、０点测量坐　标为（　，　）、Ｏｘ轴在测量坐标系中的方位角为口。。　０　图５小半径渐变到大半径的非完全回旋线　Ｆｉｇｕｒｅ　５　ｒａｄｉｕｓ　ｏｆ　ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｉｏｎ　ｓｐｉｒａｌ　ｌｉｎｅ　ｆｒｏｍ　ｓｍａｌｌ　ｔｏ　ｌａｒｇｅ　据回旋线的特性：曲线上任一点的曲率半经ｐ　与该点至半径为无穷大点之弧长　成反比，即：　０一　’Ｒ４＝（Ｌｏ一‘＋Ｌ４）Ｒ３　所以：　Ｌ￣－Ｊ＝　４（１０）　利用式（３）、式（４）可得到该曲元起点Ｊ　弧长　处Ｐ　点及该曲元终点（下一曲元起点）Ｊ　切线角分　别为：　卢：　２Ｒ　Ｌ　一　３（　ｏ一，＋　４）Ｌ　’卢，　　．：　（１２）　掣２Ｒ３（　）　　一　从图５中可见：ａ。＝０ｔＪ＋Ｋ（丌一　）　（１４）　２Ｒ　４—　Ｒ　３　’　‘一４　丌一—　一　利用式（５）、式（１０）可得Ｊ　、Ｐ　、Ｊ　点在局部独　立坐标系中的坐标：　ＸＪ：３（　“）＿　（　）　ｙ』３　＝　６Ｒ３　Ｐ４　＝Ｉ（　‘　＋Ｌ　一一Ｌ　卜　　Ｊ一　＼（　　＿：＿　＋Ｌ　一Ｌ一　）　Ｊ　４　（　十　ｆ—＼　Ｒ　Ｒ　　＋。　　一　４—　３　Ｙｅ４　６Ｒ　（　（　）　—４　３４　（　）　＼（　Ｒ　Ｒ）４—　３／　一６Ｒ　（　）　利用式（８）、式（１４）结果，并经坐标变换有：　维普资讯 http://www.cqvip.com

第４期　＋　ｘ％　ｃｏｓａｏＹｊ　３刘连旺，等：６种曲线元上的道路中桩坐标解算　Ｋ　￣ｙ％　ｓｉｎａｏＫ　’　Ｊ７５　－＝　＋ｘｉ　３　ｓｉｎａ　ｏ。一　一３　ＣＯＳ（￣　。ｏ＼　１利用式（３）、式（４）可得，到该曲元起点Ｊ　弧长　￡处Ｐ　点、该曲元终点（下一曲元起点）Ｊ，及起点　．，　切线角分别为：　￡Ｄ　０在测量　由上式町得局部坐标系的坐标原点　坐标系中的坐标：　－　ｏ　ｓ　ａ（ｘ　％ｃ　－　３ｏＫ．ｉｎ　ａ０）　ｙ％　ｓ．ｐ　可’　（　ｒＪ‘＋　）　，　，］ｃ・』５　）７＝　，一（　，ｓｉｎａ０＋　。）。，　ａ。）Ｊ　＾　＾０ｓ一＋。３　。。利用式（１４）、式（１５）结果，并通过坐标变换可得　＝—■　尸　、Ｊ　点在测量坐标系中的坐标：　＝Ｘｊ一（　Ｊ　３ＣＯＳ（￣。一Ｋ‘ＹＪｓｉｎａｏ）　３３　』　４　ＣＯＳ￣０一Ｋ’ＹＰｓｉｎａ。　４　ｌ，Ｐ　＝　一（　』　ｓｉｎａ。＋Ｋ‘　Ｊ　ＣＯＳ（￣。）　』　ｓｉｎａ　０＋Ｋ’Ｙｅｃ０ｓａ。　，，　＝ＸＩ　一（　，　ｃ０ｓａ。一Ｋ‘Ｙ』　ｓｉｎａ。）＋　ＸＪｃ０ｓ。　一Ｋ’ＹＪｓｉｎａ。　４　，ＹＪ＝　，一（　Ｊ　ｓｉｎａ。＋Ｋ‘Ｙ』４，ｃ０ｓａ。）＋　ｓｉｎａｏ＋Ｋ。ＹＪｃ０ｓａ。　４　（１６）　下一曲元起点．，　沿测量方向切线方位角：　ａ』　＝。‘一Ｋ（』９　一卢』　）　５大半径渐变到小半径的非完全回旋线’　从图１中提取曲元５，该曲元为由大半径　渐　变到Ｒ　的非完全回旋线，设０点为曲率半径为无　穷大点，且取该点为坐标原点，建立局部独立坐标系　（见图６），设坐标原点０到．，　的弧长为　。一，、０点　图６大半径渐变到小半径的非完全回旋线　Ｆｉｇｕｒｅ　６　ｒａｄｉｕｓ　ｏｆ　ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｉｏｎ　ｓｐｉｒａｌ　ｌｉｎｅ　ｆｒｏｍ　ｌａｒｇｅ　ｔｏ　ｓｍａｌｌ　测量坐标为（　，７７）、Ｏｘ轴在测量坐标系中的方位角　为ａ　。　据回旋线的特性：曲线上任一点的曲率半经ｐ　与该点至半径为无穷大点之弧长￡成反比，即（　＋Ｌ０一，　）　５＝Ｌｏ一，　‘Ｒ４。　所以　＝　）　（燕）　２　（燕　）　（１８）　（１９）　２Ｒ　ｓ（　“　）　，５一　：（　，２Ｒ　＼　，　从图６中可见：ａ。＝ａＪ　一邵‘。　ａ。：ａ‘一Ｋ・　≤　｝熟ｃ２　Ｘｐ＝（Ｉ　瓦＝　＋Ｌ’）广　＿　（　：　４。月　“）　（　叫　６　（　）　＝（　）－　（＼　　４—Ｒ　Ｒ　５。　）　』　４０Ｒ：　（　）。　），Ｊ５　＝　６Ｒｓ　利用式（１６）、式（２１）结果，并经坐标变换有：　＋ｘ　ｊ，ｃｏｓａ　ｏ－Ｋ￣ｙｊ，　　ｓｉｎ　ａｏ＝）７＋＋　Ｊ‘４　ｓｉｎａ　。＋＋　Ｋ　．‘　４ＹＪ　ｃ。ｏｓａ　。０　４　Ｊ　维普资讯 http://www.cqvip.com

７６　中南公路工程　第３１卷　由上式可得局部坐标系的坐标原点Ｏ在测量　坐标系中的坐标：　对上式积分得：　卢：　ｄｘ＝（２５）　ｄＬ　ｃ　ｏ　ｓｄ＝　‘一‘　‘　。　口。一Ｋ‘），‘。ｉ“口。　ｌ（２２）　＇７　一（　‘ｓｉｎａｏ＋Ｋ。ｙ‘Ｃ０５￣０）Ｊ　利用式（２１）、式（２２）结果，并通过坐标变换可得　另有：ｐ　６：ｄ，Ｐｉ卢１ｆ）　Ｐ　、Ｊ　点在测量坐标系中的坐标：　ＸＰ＝ＸＪ一（ＸＪＣＯＳｑ。一Ｋ‘Ｙ４　＇／４　ｓｉｎａ。）＋　５４Ｐ５　ＣＯ￥￣０一Ｋ’ＹＰｓｉｎａｏ　５　，，Ｐ　＝ｙ‘一（　‘ｓｉｎ口。＋Ｋ‘ＹＪ４　ＣＯＳ￣０）＋　ｓｉｎａｏ＋Ｋ‘ＹｅＣＯＳＧ０　，一（　，４。ｏｓｎ。一Ｋ‘Ｙｓ４　ｓｉｎａ。）＋　ＸＪＣＯＳ￣０一Ｋ‘，Ｊ　ｓｉｎａｏ　５　５　＝　一（　‘　ｉｎ口。＋Ｋ‘ＹｓＣＯＳＧ０）＋　４　ＸＪｓｉｎａｏ＋Ｋ‘ＹｓＣＯＳ￣０　５　５　（２３）　下一曲元起点＇，　沿测量方向切线方位角：　，５　厶＋Ｋ（　一ｆｌＪ，）　（２４）　６定半径渐变到无穷大的非完全回旋线　从图１中提取曲元６，该曲元为曲率半径由Ｒ　渐变到无穷大似完全回旋线；取曲率半径Ｒ　处－，　点为坐标原点，建立局部独立坐标系（见图７），图中　Ｐ　为到结点－，　弧长　处的点，ｄ　为微分弧长，ｄ口　图７定半径渐变到无穷大的非完全回旋线　Ｆｉｇｕｒｅ　７　ｒａｄｉｕｓ　ｏｆ　ｉｎｃｏｍｐｌｅｆｉｏｎ　ｓｐｉｒａｌ　ｌｉｎｅ　ｆｒｏｍ　ｆｉｘｅｄ　ｖａ［ｕ￣ｔｏ　ｉｎｆｉｎｉｔｙ　为微分角，ｄ　、ｄ　分别为独立坐标系　轴Ｙ轴上　ｐ６　Ｐ６　的投影长，卢为Ｐ　点的切线角。据回旋线的特性：　曲线上任一点的曲率半经ＩＤ与该点至半径为无穷　大点之弧长Ｌ成反比，即：　』Ｄ（　６一　）＝Ａ　上式中，取　＝０时，』Ｄ＝Ｒ　，故Ａ　＝Ｒ　。所　以：　１＝　。据曲率定义有：　ｄｏｄＬ　＝一　古＝』Ｄ　一　Ｒ　５　　６　’　一＝　Ｒ　５　　Ｌ　ｄ６　　取ｃｏｓｆｌ与ｓｉｎｆｌ的级数展开式后代入上式并顾　及式（２５）得：　ｄ　；ｄ　【－一（兰　）　ｉ＋…】　ｄ　＝ｄ　【三　妻　：　：一（三　：　）　×　对上式积分得Ｐ　点在局部独立坐标系中的坐　标：　＝￡一丢　），　一　利用式（２３）、式（２４）结果，并通过坐标变换可得　Ｐ　点在测量坐标系中的坐标：　＝　＋ＸＰＣＯＳｑｊ一Ｋ　），　ｓｉｎａｓ６　５５　１　＝　＋ＸＰｓｉｎａ６＋Ｋ。ＹＰＣＯＳｑｊ６　６　５　Ｊ　７　结语　上述所建立的数学模型，最终把里程桩号作为　自变量，中桩测量坐标为目标函数，可以快速获取道　路放样数据，同时避免了误差积累。于是内业设计　要素的选择直接关系到外业施工时数据采集的时效　性和精确性。作者在３２１国道桂龙段改建工程中用　此方法获取的数据放样结果与用偏角法放样结果相　比，点位最大相差值为２　ｃｍ，实践说明实现数字化放　样切实可行。　［参考文献］　［１］覃辉．道路边线点的坐标计算与微机程序简介【ｊ］．测绘通　报，１９９８，（８）：２１—２４．　［２］徐时涛，夏英寅．实用工程测量［Ｍ］．重庆：重庆大学出版社，　１９９８．５．　［３］　向怀坤。孟庆龙．道路中线与边线一次性测设元素的计算与编　程实现［Ｊ］．北京测绘，２００１，（２）：３５—３７．