乘法公式(基础)知识讲解

【要点梳理】 要点一、平方差公式

平方差公式：(ab)(ab)ab

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

要点诠释：在这里，a,b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.

抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：

（1）位置变化：如(ab)(ba)利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(3x5y)(3x5y) （3）指数变化：如(mn)(mn) （4）符号变化：如(ab)(ab) （5）增项变化：如(mnp)(mnp)

（6）增因式变化：如(ab)(ab)(ab)(ab) 要点二、完全平方公式

完全平方公式：aba2abb

2222244323222(ab)2a22abb2

两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.

要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：

a2b2ab2abab2ab

22ab2ab4ab

2要点三、添括号法则

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.

要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 要点四、补充公式

(xp)(xq)x2(pq)xpq；(ab)(a2332232abb2)a3b3；

222 (ab)a3ab3abb；(abc)abc2ab2ac2bc. 【典型例题】

类型一、平方差公式的应用

1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的，写出计算结果．

(1)2a3b3b2a； (2) 2a3b2a3b； (3) 2a3b2a3b； (4) 2a3b2a3b； (5) 2a3b2a3b； (6) 2a3b2a3b．

【思路点拨】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式. 【答案与解析】

解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算． (2) 2a3b2a3b＝3b－2a＝9b4a．

22

22 (3) 2a3b2a3b＝2a －3b ＝4a9b．

2222 (4) 2a3b2a3b＝2a－3b ＝4a9b．

2222 (5) 2a3b2a3b＝3b－2a＝9b4a．

2222【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项（系数为相反数的同类项）． 举一反三：

【变式】计算：（1）x322x3y22y； （2）(2x)(2x)； （3）(3x2y)(2y3x)．

【答案】

x292x3解：（1）原式yy．

4422（2）原式(2)x4x．

（3）原式(3x2y)(2y3x)(3x2y)(3x2y)9x4y．

22222222、计算：

(1)59.9×60.1； (2)102×98． 【答案与解析】

解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝600.1＝3600－0.01＝3599.99 (2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝1002＝10000－4＝9996．

【总结升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可利用两数的平均数，通过两式(两数)的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式．这样可顺利地利用平方差公式来计算． 举一反三：

【变式】怎样简便就怎样计算：

（1）123﹣124×122 （2）（2a+b）（4a+b）（2a﹣b） 【答案】

解：（1）123﹣124×122 =123﹣（123+1）（123﹣1） =123﹣（123﹣1） =123﹣123+1 =1；

（2）（2a+b）（4a+b）（2a﹣b） =（2a+b）（2a﹣b）（4a+b） =（4a﹣b）（4a+b） =（4a）﹣（b） =16a﹣b．

类型二、完全平方公式的应用

4

42

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22223、计算：

(1)3ab； (2)32a； (3)x2y； (4)2x3y．

【思路点拨】此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方公式.

【答案与解析】

解：(1) 3ab3a23abb29a26abb2．

(2) 32a2a32a22a3324a212a9． (3) x2yx2x2y2yx4xy4y ．

22222222222222 (4) 2x3y2x3y2x22x3y3y4x12xy9y．

222222【总结升华】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时，结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符号为负．(2)注意abab之间的转化．

224、图a是由4个长为m，宽为n的长方形拼成的，图b是由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是一个小正方形．

（1）用m、n表示图b中小正方形的边长为 ． （2）用两种不同方法表示出图b中阴影部分的面积；

（3）观察图b，利用（2）中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式（m+n）

2

，（m﹣n），mn；

2

2

（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知a+b=7，ab=5，求（a﹣b）的值．

【答案与解析】

解：（1）图b中小正方形的边长为m﹣n．故答案为m﹣n； （2）方法①：（m﹣n）（m﹣n）=（m﹣n）；

2

方法②：（m+n）﹣4mn；

（3）因为图中阴影部分的面积不变，所以（m﹣n）=（m+n）﹣4mn； （4）由（3）得：（a﹣b）=（a+b）﹣4ab，

∵a+b=7，ab=5， ∴（a﹣b）=7﹣4×5 =49﹣20 =29．

【总结升华】本题考查了完全平方公式的应用，列代数式，可以根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量．

5、已知ab7，ab＝12．求下列各式的值：

(1) aabb；(2) (ab)．

【答案与解析】

解：(1)∵ aabb＝ab－ab＝ab－3ab＝7－3×12＝13．

222222222

2

2

2

2

2

2

2 (2)∵ ab＝ab－4ab＝7－4×12＝1.

222【总结升华】由乘方公式常见的变形：①ab－ab＝4ab；②ab＝ab22222－2ab＝ab＋2ab．解答本题关键是不求出a,b的值，主要利用完全平方公式的整体变换求代数式的值． 举一反三：

22【变式】已知(ab)7，(ab)4，求ab和ab的值．

222【答案】

22解：由(ab)7，得a2abb7； ①

222由(ab)4，得a2abb4． ②

222①＋②得2(ab)11，∴ ab2211． 2①－②得4ab3，∴ ab3． 4