2020-2021学年江苏省南京市金陵中学高一下学期期末考试数学试卷

试卷

注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题～第12题）填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）四部分。本试卷满分150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡上交。 2．考生在作答时必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。 一､选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．数据1，2，3，4，5，6，7，8的75百分位数为( ▲ )

A．6

B．6.5

C．7

D．7.5

－

2．已知i是虚数单位，z(1＋i)＝2i，则复数z在复平面内所对应的点位于( ▲ )

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

3．某船以24 海里/h的速度沿着正北方向行驶，在点A处测得灯塔S在船的北偏东30°方向上，15 min后到点B处测得灯塔在船的北偏东75°方向上，则船到达点B时与灯塔S的距离是( ▲ )

A．6 海里 C．32 海里

B．33 海里 D．3 海里

4．某班数学课代表统计一次数学测验的平均分与方差，计算完毕才发现忘记把自己的分数录入进－－

去了，只好重算一次．已知原平均分和原方差分别为x，s2，新平均分和新方差分别为x1，s21，若－

此同学的得分恰好为x，则( ▲ )

－－

A．x＝x1，s2＝s21 －－

C．x＝x1，s2＞s21

－－

B．x＝x1，s2＜s21 －－

D．x＜x1，s2＝s21

π

5．已知sin(π＋α)＝4sin(＋α)，则sin2α＋2sin2α＝( ▲ )

2

40A．

17

高一数学期末试卷 第1页，共10页

36B．

1732C． 1724D．

17

6．前一段时间，高一年级的同学们参加了几何模型的制作比赛，大家的作品在展览中获得了一致好评．其中一位同学的作品是在球当中放置了一个圆锥，于是就产生了这样一个有趣的问题：已知2π

圆锥的顶点和底面圆周都在球O面上，若圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为3π，则球O的

3表面积等于( ▲ )

81πA．

8

81πB．

2

121πC． 8

121πD． 2

7．如图，已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线与AB，AD所在直线分别交m1→→→→于点M，N，满足AB=mAM，AN=nAD，(m＞0，n＞0)，若mn＝，则的值为( ▲ )

n2

2

A．

36C．

7

4B． 58 D． 9

B M C O A N D 8．在△ABC中，角A､B､C所对的边分别为a､b､c，角A的角平分线交BC于点D，若asinA＝bsinB＋(c－b)sinC，且AD＝3，b＝3c，则a的值为( ▲ )

7A．

2

47B． 3

C．3

D．23

二､选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 若甲、乙、丙三个人站成一排，则下列是互斥事件的有( ▲ ) A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙不站排尾”

C．“甲不站排头和排尾”与“乙不站排头和排尾” D．“甲站排头”与“乙站排尾”

10．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列结论正确的是( ▲ ) A．若m⊥n，n//α，则m⊥α B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n C．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β

D．若mα，nα，且m与n不平行，m//β，n//β，则α//β 11．下列说法正确的是( ▲ )

A．已知a＝(－1，2)，b＝(x，x－1)，若(b－2a)//a，则x＝－1 →1→1→B．在△ABC中，若AD＝AB＋AC，则点D是边BC的中点

22

→1→→→4

C．已知正方形ABCD的边长为1，若点M满足DM＝MC，则AM·AC＝ 23D．若a，b共线，则|a＋b|＝|a|＋|b|

高一数学期末试卷 第2页，共10页

12．下列条件中，能推导出△ABC是钝角三角形的是( ▲ ) A．在平面直角坐标系中，A(1，3)，B(4，2)，C(－1，－1) B．tanA＋tanB＋tanC＞0 C．cos2B－cos2C＞sin2A

D．(sinA－cosB)·(sinB－cosC)·(sinC－cosA)＞0

三､填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案写在答题卡相应位置． ．．．．．．．

13．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是________▲．

3π

14．若α＋β＝，则(1－tanα)(1－tanβ)等于________▲．

422

15．如图，在△ABC中，点D在边BC上，AD⊥AC，cos∠BAD＝，

3AB＝32，AD＝3，则CD的长为________▲．

16．如图，在正三棱锥P－ABC中，侧棱长为22，底面边长为4，D为AC中点，E为AB中点，M是线段PD上的动点，N是平面PCE上的动点，则AM＋MN最小值是________. ▲

C

D E M P N B 四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共A 70分．

请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． ．．．．．．．．

17．(本小题10分) 已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2)． (1)若|b|＝25，且a∥b，求b的坐标；

(2)若|c|＝10，且2a＋c与4a－3c垂直，求a与c的夹角θ．

高一数学期末试卷 第3页，共10页

12318．(本小题12分) 在①sinBsinC＝；②tanB＋tanC＝这两个条件中任选一个，补充到下面问

43题中，并进行作答.

1

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，tanBtanC＝，a＝23， .

3（1）求角A，B，C的大小； （2）求△ABC的周长和面积.

19．(本小题12分) 已知向量a＝(sinx，－3sinx) ，b＝(2cosx，2sinx)且 f(x)＝a·b＋3． π

(1)求函数f(x)在区间[0，]上的最值；

2

πα105π

(2)设α∈(，π)，f()＝，求cos(2α＋)的值．

221312

高一数学期末试卷 第4页，共10页

20．(本小题12分) 已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝1，BC＝2，又PB⊥平面ABCD，且PB＝1，点E在棱PD上且BE⊥PD． (1)求证：BE⊥平面PCD；

(2)求锐二面角B－PC－D的余弦值．

21．(本小题12分) 由袁隆平团队研发的第三代杂交水稻早在2019年10月就已公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为1046.3公斤，第三化杂交水稻的综合优势可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展．某企业引进一条先进的食品生产线，计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工，创建一个新产品，已知该产品的质量以某项指标值k(70≤k＜100)为衡量标准，质量指标的等级划分如表：

质量指标值k 90≤k＜100 85≤k＜90 80≤k＜85 75≤k＜80 70≤k＜75 A B C D E 为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，从中随机抽取了1000件产品，测量了每件产品频率

的指标值，若以组距为5画频率分布直方图（设“＝Y”）时，发现Y满足：

组距

3n－39，n≤16Y＝300，n∈N*，5n≤k＜5(n＋1)．

－

220n，n＞16a·

（1）试确定n的所有取值，并求a；

（2）从样本质量指标值不小于85的产品中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取7件产品，

然后从这7件产品中一次性随机抽取2件产品，写出样本空间，并求出至少有1件A级品的概率.

高一数学期末试卷 第5页，共10页

22．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知3a＝3bcosC＋3csinB． (1)求角B的值；

(2)若点M为AC中点，且b＝3，求中线BM的最大值； π

(3)求(tan2A－2)sin(2C＋)的最小值．

6

高一数学期末试卷 第6页，共10页

金陵中学2020-2021学年第二学期期末考试

高一数学试卷

注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题～第12题）填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）四部分。本试卷满分150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡上交。 2．考生在作答时必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。 一､选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．数据1，2，3，4，5，6，7，8的75百分位数为( ▲ )

A．6 答案：B

－

2．已知i是虚数单位，z(1＋i)＝2i，则复数z在复平面内所对应的点位于( ▲ )

A．第一象限 答案：D

3．某船以24 海里/h的速度沿着正北方向行驶，在点A处测得灯塔S在船的北偏东30°方向上，15 min后到点B处测得灯塔在船的北偏东75°方向上，则船到达点B时与灯塔S的距离是( ▲ )

A．6 海里 C．32 海里 答案：C

4．某班数学课代表统计一次数学测验的平均分与方差，计算完毕才发现忘记把自己的分数录入进－－

去了，只好重算一次．已知原平均分和原方差分别为x，s2，新平均分和新方差分别为x1，s21，若－

此同学的得分恰好为x，则( ▲ )

－－

A．x＝x1，s2＝s21 －－

C．x＝x1，s2＞s21 答案：C

高一数学期末试卷 第7页，共10页

B．6.5 C．7 D．7.5

B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

B．33 海里 D．3 海里

－－

B．x＝x1，s2＜s21 －－

D．x＜x1，s2＝s21

π

5．已知sin(π＋α)＝4sin(＋α)，则sin2α＋2sin2α＝( ▲ )

2

40A．

17答案：D

6．前一段时间，高一年级的同学们参加了几何模型的制作比赛，大家的作品在展览中获得了一致好评．其中一位同学的作品是在球当中放置了一个圆锥，于是就产生了这样一个有趣的问题：已知2π

圆锥的顶点和底面圆周都在球O面上，若圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为3π，则球O的

3表面积等于( ▲ )

81πA．

8答案：A

7．如图，已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线与AB，AD所在直线分别交m1→→→→于点M，N，满足AB=mAM，AN=nAD，(m＞0，n＞0)，若mn＝，则的值为( ▲ )

n2

2

A．

36C．

7答案：D

8．在△ABC中，角A､B､C所对的边分别为a､b､c，角A的角平分线交BC于点D，若asinA＝bsinB＋(c－b)sinC，且AD＝3，b＝3c，则a的值为( ▲ )

7A．

2答案：B

47B． 3

C．3

D．23

4B． 58 D． 9

A B M C O D N

81πB．

2

121πC． 8

121πD． 2

36B．

17

32C． 17

24D．

17

二､选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 若甲、乙、丙三个人站成一排，则下列是互斥事件的有( ▲ ) A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙不站排尾”

C．“甲不站排头和排尾”与“乙不站排头和排尾” D．“甲站排头”与“乙站排尾” 答案：AC

10．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列结论正确的是( ▲ ) A．若m⊥n，n//α，则m⊥α B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n C．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β

高一数学期末试卷 第8页，共10页

D．若mα，nα，且m与n不平行，m//β，n//β，则α//β 答案：BD

11．下列说法正确的是( ▲ )

A．已知a＝(－1，2)，b＝(x，x－1)，若(b－2a)//a，则x＝－1 →1→1→B．在△ABC中，若AD＝AB＋AC，则点D是边BC的中点

22

→1→→→4

C．已知正方形ABCD的边长为1，若点M满足DM＝MC，则AM·AC＝

23D．若a，b共线，则|a＋b|＝|a|＋|b| 答案：BC

12．下列条件中，能推导出△ABC是钝角三角形的是( ▲ ) A．在平面直角坐标系中，A(1，3)，B(4，2)，C(－1，－1) B．tanA＋tanB＋tanC＞0 C．cos2B－cos2C＞sin2A

D．(sinA－cosB)·(sinB－cosC)·(sinC－cosA)＞0 答案：AC

解：对于A选项，|AB|＝10，|AC|＝25，|BC|＝34，则|BC|＞|AC|＞|AB|，由余弦定理可得cosA|AB|2＋|AC|2－|BC|2

＝＜0，所以，A为钝角；

2|AB|·|AC|

对于B选项，tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC＞0，由于△ABC中至少有两个锐角，不妨设A、B为锐角，则tanAtanB＞0，可得tanC＞0，所以，C为锐角，进而可知，△ABC为锐角三角形； 对于C选项，cos2B－cos2C＝1－sin2B－(1－sin2C)＝sin2C－sin2B＞sin2A，即a2＋b2＜c2

对于D选项，取A＝110º，B＝10º，C＝60º，则sinA－cosB＜0，sinB－cosC＜0，sinC－cosA＞0，满足(sinA－cosB)·(sinB－cosC)·(sinC－cosA)＞0，△ABC为钝角三角形，取A＝B＝C＝60º满足(sinA－cosB)·(sinB－cosC)·(sinC－cosA)＞0，但△ABC为锐角三角形.

三､填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案写在答题卡相应位置． ．．．．．．．

13．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是________▲． 1答案：

93π

14．若α＋β＝，则(1－tanα)(1－tanβ)等于________▲．

4答案：2

22

15．如图，在△ABC中，点D在边BC上，AD⊥AC，cos∠BAD＝，AB＝32，AD＝3，则CD

3的长为________▲．

答案 33

22解：cos∠BAD＝，AB＝32，AD＝3，

3

高一数学期末试卷 第9页，共10页

22

所以BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD＝18＋9－2×32×3×＝3，所以BD＝3，

3AD2＋BD2－AB29＋3－183

所以cos∠ADB＝＝＝－，

2AD·BD32×3×3故cos∠ADC＝－cos∠ADB＝

3

， 3

AD

又cos∠ADC＝，所以CD＝33.

CD

16．如图，在正三棱锥P－ABC中，侧棱长为22，底面边长为4，D为AC中点，E为AB中点，M是线段PD上的动点，N是平面PCE上的动点，则AM＋MN最小值是________. ▲

答案：3＋1

C

D A E M P N B 解：CB中点F,连接DF交CE于点O,易证得DO⊥面PCE,要求AM＋MN最小,即求MN最小,可得MN⊥PCE，又可证明MN//DF,再把平面POD绕PD旋转,与面PDA共面,又可证得∠POD＝90°． 11111

∵PD＝AC，DO＝DF＝×AB＝AB＝1，

22224OD1

∴sin∠OPD＝＝，即∠OPD＝30°，

PD2∴∠APN'＝45°＋30°＝75°，可得sin75°＝(AM＋MN)min＝AN'＝PA·sin75°＝3＋1．

6＋2

， 4

四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分．

请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． ．．．．．．．．

17．(本小题10分) 已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2)． (1)若|b|＝25，且a∥b，求b的坐标；

(2)若|c|＝10，且2a＋c与4a－3c垂直，求a与c的夹角θ． 解 (1)设b＝(x，y)， 因为a∥b，所以y＝2x．①

又因为|b|＝25，所以x2＋y2＝20．②………………………………………………………2分 由①②联立，

解得b＝(2，4)或b＝(－2，－4)．……………………………………………………………4分 (2)由已知(2a＋c)⊥(4a－3c)，

得(2a＋c)·(4a－3c)＝8a2－3c2－2a·c＝0，……………………………………………………6分 由|a|＝5，|c|＝10，

解得a·c＝5，……………………………………………………………………………………8分 a·c2所以cos θ＝＝，θ∈[0，π]，

|a||c|2

高一数学期末试卷 第10页，共10页

π

所以a与c的夹角θ＝．……………………………………………………………………10分

412318．(本小题12分) 在①sinBsinC＝；②tanB＋tanC＝这两个条件中任选一个，补充到下面问

43题中，并进行作答.

1

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，tanBtanC＝，a＝23， .

3（1）求角A，B，C的大小； （2）求△ABC的周长和面积. 解（1）若选择①：

113

因为tanBtanC＝，sinBsinC＝，所以cosBcosC＝………………………………………2分

3441

所以cos(B＋C)＝cosBcosC－sinBsinC＝，

2

π2π

因为B＋C∈(0，π)，所以B＋C＝，A＝………………………………………………4分

33ππ

又因为cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝1，B－C∈(－，)

33

π

所以B－C＝0，B＝C＝……………………………………………………………………6分

6若选择②：

设tanB，tanC为方程，x2－解得tanB＝tanC＝

231

x＋＝0的两根 33

3

，………………………………………………………………………4分 3

π

因为B，C∈(0，π)所以B＝C＝ 6

2π

所以A＝π－(B＋C)＝………………………………………………………………………6分

3abc

（2）由正弦定理知：＝＝ sinAsinBsinC2ππ

因为A＝，B＝C＝，a＝23

36

所以b＝c＝2…………………………………………………………………………………9分 所以△ABC的周长为4＋23，……………………………………………………………10分 1

面积SΔABC＝bcsinA＝3……………………………………………………………………12分

2

高一数学期末试卷 第11页，共10页

19．(本小题12分) 已知向量a＝(sinx，－3sinx) ，b＝(2cosx，2sinx)且 f(x)＝a·b＋3． π

(1)求函数f(x)在区间[0，]上的最值；

2

πα105π

(2)设α∈(，π)，f()＝，求cos(2α＋)的值．

221312

π

解:(1)f(x)＝sin2x＋3cos2x＝2sin(2x＋)，．………………………………………………3分

3πππ4

因为x∈[0．]时，所以2x＋∈[，π]，

2333πππ

当2x＋＝即x＝时，f(x)max＝2；

1232

ππ4

当2x＋＝π即x＝时f(x)min＝－3…………………………………………………6分

233注：不交代x取何值时取最值扣1分

απ10π5

(2)因为f()＝2sin(α＋)＝，所以sin(α＋)＝，

23133135ππ4ππ

＜α＋＜，所以cos(α＋)＝－6333

π12

1－sin(α＋)＝－，………………………8分

313

ππ5ππ

令α＋＝t，则α＝t－，所以2α＋＝2t－

33124

5ππππ

cos(2α＋)＝cos(2t－)＝cos2tcos ＋sin2tsin ……………………………………10分

12444120119

其中sin2t＝2sintcost＝－，cos2t＝cos2t－sin2t＝，

169169

25π

所以原式cos(2α＋)＝－…………………………………………………………12分

33812

高一数学期末试卷 第12页，共10页

20．(本小题12分) 已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝1，BC＝2，又PB⊥平面ABCD，且PB＝1，点E在棱PD上且BE⊥PD． (1)求证：BE⊥平面PCD；

(2)求锐二面角B－PC－D的余弦值．

∥BF， (1)证明:取BC中点F，连结DF，因为AD＝1，BC＝2所以AD ＝即四边形ABFD为平行四边形． 所以AB＝DF＝1，则DF＝CF＝BF＝1，

所以∠CDB＝90°，即CD⊥BD．………………………………2分 因为PB⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以PB⊥CD， BD，BP平面ABCD，BD∩BP＝B，

所以CD⊥平面PBD，……………………………………………4分 又BE平面PBD，所以CD⊥BE．

又BE⊥PD，PD，CD平面PCD，PD∩CD＝D，

所以BE⊥平面PCD………………………………………………6分

(2)解:在△PCB中，过点B作BM⊥PC垂足为M，连结EM 由(1)知，BE⊥平面PCD，又PC平面PCD，所以BE⊥PC． BE，BM平面BEM，BE∩BM＝B，所以PC⊥平面BEM． 又EM平面BEM，所以PC⊥EM．

所以∠BME即二面角B－PC－D的平面角．……………………9分 PB·BC25在Rt△PCB中，BM＝＝；

PC5PB·BD6

在Rt△PBD中，BE＝＝；

PD3

BE306

所以sin∠BME＝＝，则cos∠BME＝1－sin2∠BME＝

BM66所以锐二面角A－PD－B的余弦值为

6

．……………………12分 6

M

F

注：二面角的平面角要有证明过程，作辅助线后直接默认求解二面角要酌情扣分

高一数学期末试卷 第13页，共10页

21．(本小题12分) 由袁隆平团队研发的第三代杂交水稻早在2019年10月就已公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为1046.3公斤，第三化杂交水稻的综合优势可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展．某企业引进一条先进的食品生产线，计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工，创建一个新产品，已知该产品的质量以某项指标值k(70≤k＜100)为衡量标准，质量指标的等级划分如表：

质量指标值k 产品等级 90≤k＜100 A 85≤k＜90 B 80≤k＜85 C 75≤k＜80 D 70≤k＜75 E 为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，从中随机抽取了1000件产品，测量了每件产品频率

的指标值，若以组距为5画频率分布直方图（设“＝Y”）时，发现Y满足：

组距

3n－39，n≤16Y＝300，n∈N*，5n≤k＜5(n＋1)．

－

220n，n＞16a·

（1）试确定n的所有取值，并求a；

（2）从样本质量指标值不小于85的产品中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取7件产品，

然后从这7件产品中一次性随机抽取2件产品，写出样本空间，并求出至少有1件A级品的概率.

解：（1）根据题意，k∈[70，100)，按组距为5可分成6个小区间， 分别是[70，75)、[75，80)、[80，85)、[85，90)、[90，95)、[95，100)， 因为70≤k＜100，由5n≤k＜5(n＋1)，n∈N*，

所以，n的可能取值有14、15、16、17、18、19，……………………………………2分

3n－39，n＝14，15，16

60每个小区间对应的频率值分别是5Y＝，

－

5a·220n，n＝17，18，19

3(14＋15＋16－39)1

所以，＋5a(8＋4＋2)＝1，解得a＝；…………………………4分

60100（2）由（1）中的数据，得：

1－

k∈[85，90)的频率为×22017×5＝0.4；

1001－

k∈[90，95)的频率为×22018×5＝0.2；

1001－

k∈[95，100)的频率为×22019×5＝0.1.

100利用按比例分层抽样抽取的7件产品中，

k∈[85，90)的有4件，分别记为A1、A2、A3、A4，

k∈[90，100)的有3件，分别记为B1、B2、B3，…………………………………………6分 记A1A2表示抽取的2件产品在[85，90)内，余类推

高一数学期末试卷 第14页，共10页

Ω＝{A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A1B3，A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A2B3，A3A4，A3B1，A3B2，

A3B3，A4B1，A4B2，A4B3，B1B2，B1B3，B2B3}共21个，……………………8分 记“抽取2件产品中至少有1件A级品”为事件M，

则M＝{A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，A4B1，A4B2，A4B3，B1B2，

B1B3，B2B3}共15个，………………………………………………………………10分 155

因此，所求概率为P(M)＝＝；

217

5

答：至少有1件A级品的概率为.…………………………………………………………12分

7注：第一小问n的取值直接写答案即可，不需过程；最后一小问“答”不写扣1分 22．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知3a＝3bcosC＋3csinB． (1)求角B的值；

(2)若点M为AC中点，且b＝3，求中线BM的最大值； π

(3)求(tan2A－2)sin(2C＋)的最小值．

6解:(1)因为3a＝3bcosC＋3csinB，

abc

由正弦定理＝＝＝2R得3sinA＝3sinBcosC＋3sinCsinB，

sinAsinBsinC因为在△ABC中，A＝π－(B＋C)，

所以3sin(B＋C)＝3sinBcosC＋3sinCsinB，即3sinCcosB＝sinCsinB，………………2分 又因为sinC≠0，cosB≠0所以tanB＝3 ，

π

B∈(0，π)，所以B＝．……………………………………………………………………4分

3(2)在△ABM和△BCM中，由余弦定理得:

3333

c2＝BM2＋－2·BMcos∠BMA，a2＝BM2＋－2·BMcos∠BMC

4242

22

a＋c3

两式相加得BM2＝2－．……………………………………………………………6分

4

a2＋c21

又由余弦定理a＋c－3＝ac≤2，所以(a2＋c2)≤3，

2

2

2

9

即a2＋c2≤6，BM2≤4，

3

所以BM最大值为，当且仅当a＝c＝3时等号成立．……………………………8分

2

2π

(3)因为C＝－A，

3

3ππ

所以(tan2A－2)sin(2C＋)＝(tan2A－2)sin(－2A)＝(tan2A－2)(－cos2A)…………9分

62

高一数学期末试卷 第15页，共10页

sin2A－cos2A

＝(tanA－2)2 sinA＋cos2A

2

tan2A－1

＝(tanA－2)2．……………………………………10分

tanA＋1

2

令tan2A＋1＝t(t＞1)，原式＝

(t－3)(t－2)6

＝t＋tt－5≥26－5，

π

当且仅当t＝6时等号成立．即(tan2A－2)sin(2C＋)的最小值为26－5.………12分 6

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