1.2 误差知识与算法知识
1.2.2 绝对误差、相对误差与有效数字
设a 是准确值x 的一个近似值，记e x a =-，称e 为近似值a 的绝对误差，简称误差。如果||e 的一个上界已知，记为ε，即||e ε≤，则称ε为近似值a 的绝对误差限或绝对误差界，简称误差限或误差界。
记r e x a e x x -=
=，称r e 为近似值a 的相对误差。由于x 未知，实际上总把e a 作为a 的
相对误差，并且也记为r e x a e a a -=
=，相对误差一般用百分比表示。r e 的上界，即|| r a ε
ε=称为近似值a 的相对误差限或相对误差界。
定义 设数a 是数x 的近似值。如果a 的绝对误差限时它的某一位的半个单位，并且从该位到它的第一位非零数字共有n 位，则称用a 近似x 时具有n 位有效数字。 1.2.3 函数求值的误差估计
设()u f x =存在足够高阶的导数，a 是x 的近似值，则~ ()u f a =是()u f x =的近似值。
若'()0f a ≠且|''()|/|'()|f a f a 不很大，则有误差估计 ~ ~ ()'()() ()'()() e u
f a e a u f a a εε≈≈。 若(1)
()'()''()...()0,()0k k f a f a f
a f a -====≠，且比值(1)() ()/()k k f a f a +不很
大，则有误差估计[] [] ()~ () ~()()()! ()()()! k k
k k f a e u e a k f a u a k εε≈≈。 对于n 元函数，有误差估计 ~ 121~ 121 (,,...,) ()() (,,...,) ()() n n i i i n n i i i
f a a a e u e a x f a a a u a x εε==?≈??≈?∑ ∑
；若一阶偏导全为零或很
小，则要使用高阶项。 1.2.4 算法及其计算复杂性 （1）要有数值稳定性，即能控制舍入误差的传播。
（2）两数相加要防止较小的数加不到较大的数中所引起的严重后果。 （3）要尽量避免两个相近的近似值相减，以免严重损失有效数字。 （4）除法运算中，要尽量避免除数的绝对值远远小于被除数的绝对值。
1.3 向量范数与矩阵范数 1.3.1 向量范数 定义 定义在n
R 上的实值函数?称为向量范数，如果对于n
R 中的任意向量x 和y 满足： （1）正定性：0x ≥，当且仅当0x =时，0x =；
（2）齐次性：对任一数k R ∈，有kx k x =； （3）成立三角不等式：x y x y +≤+。 定理1.1 对n
R 中的任一向量12(,,...,)T n x x x x =，记 11 n
i i x x ==∑ 221n i i x x == ∑ 1max i i n x x ∞ ≤≤=
则1?，2?和∞?都是向量范数。 定理 1.2 设α?和β 是n
R 上的任意两种向量范数，则存在与向量x 无关的常数m 和M(0
,n m x x M x x R α
β α≤≤?∈
1.3.2 矩阵范数 定义 定义在n n
R ?上的实值函数?称为矩阵范数，如果对于n n R
中的任意矩阵A 和B 满 足：
（1）0A ≥，当且仅当0A =时，0A =； （2）对任一数k R ∈，有kA k A =； （3）A B A B +≤+； （4）AB A B ≤。
定义 对于给定的向量范数?和矩阵范数?，如果对于任一个n x R ∈和任一个n n
A R ?∈满
足Ax A x ≤，则称所给的矩阵范数与向量范数是相容的。 定理1.3 设在n
R 种给定了一种向量范数，对任一矩阵n n A R ∈，令1
=max x A Ax =，则由
此定义的?是一种矩阵范数，并且它与所给定的向量范数相容。 定理1.4 设[]n n ij A a R ?=∈，则
111 max n ij j n
i A a ≤≤==∑ max 2()T A A A λ= 11 max n ij i n
j A a ∞≤≤==∑
其中max ()T A A λ表示矩阵T A A 的最大特征值（T
A A 是正定或半正定矩阵，它的全部特征值 非负）。
还有一种常见的矩阵范数2 ,1 n ij F i j A a ==
∑，且与向量范数2?相容，但是不从属于任何 向量范数。单位矩阵I 的任何一种算子范数1 =max 1x I Ix ==。 定理1.5 设矩阵n n
A R ?∈的某种范数1A <，则I A ±为非奇异矩阵，并且当该范数为算子
范数时，还有() 1 1 1I A A -±≤ -成立。
2.1 Gauss 消去法 2.1.1 顺序Gauss 消去法
定理2.1 顺序Gauss 消去法的前n-1个主元素() (1,2,...,1)k kk a k n =-均不为零的充分必要条 件是方程组的系数矩阵A 的前n-1个顺序主子式(1) (1)111(1)()1 ......
...0,(1,2,...,1)...k
k k k kk a a D k n a a =≠=- 2.1.2 列主元素Gauss 消去法
定理2.2 设方程组的系数矩阵A 非奇异，则用列主元素Gauss 消去法求解方程组时，各个
列主元素() (1
,2,...,1)k k i k a k n =-均不为零。 2.2 直接三角分解法
2.2.1 Doolittle 分解法(单位下三角+上三角)与Crout 分解法(下三角+单位上三角)
定理2.3 矩阵[](2)ij n n A a n ?=≥有唯一的Doolittle 分解的充分必要条件是A 的前n-1个顺序主子式0,(1,2,...,1)k D k n ≠=-。
推论 矩阵[](2)ij n n A a n ?=≥有唯一的Crout 分解的充分必要条件是A 的前n-1个顺序主子式0,(1,2,...,1)k D k n ≠=-。 2.2.2 选主元的Doolittle 分解法
定理2.4 若矩阵n n A R
∈非奇异，则存在置换矩阵Q ，使QA 可做Doolittle 分解。 2.2.3 三角分解法解带状线性方程组
定理2.5(保带状结构的三角分解) 设[]ij n n A a ?=是上半带宽为s 、下半带宽为r 的带状矩阵，且A 的前n-1个顺序主子式均不为零，则A 有唯一的Doolittle 分解
11
1,11,1,,11121,12,1,1,1 ,,1............... ..................1 (1)
.................................................1s r n s n n n r s n s n r n n r n n a a a A a a a u u u l
u l l l ++--+-+--?? =?
==?
1,.....n n nn u u -
为节省空间，用C(m,n)存储A 的带内元素，其中m=r+s+1，并且1,ij i j s j a c -++=。 2.2.5 拟三对角线性方程组的求解方法
1 112221 1111122222 21111 2 2 1 ... ... ......
......11............ ...... (1)
...1n n n n n
n n n n n n n n n a c d d a c A d a c c d a p q s d p q s q s d p s r r r r r ----------=?
==
2.3 矩阵的条件数与病态线性方程组 2.3.1 矩阵的条件数与线性方程组的性态 定义 对非奇异矩阵A ，称量1 ||||||||A A -为矩阵A 的条件数，记作1
cond()||||||||A A A -=。 矩阵A 的条件数与所取的矩阵范数有关，常用的条件数是
1cond()||||||||A A A -∞∞∞=，1222cond()||||||||A A A -= 性质1 对任何非奇异矩阵A ，cond()1A ≥。
性质2 设A 是非奇异矩阵，0k ≠是常数，则有cond()cond()kA A =。
性质3 设A 是非奇异的是对称矩阵，则有1 2cond()n
A λλ=，其中1λ和n λ分别是矩阵A 的模为最大和模为最小的特征值。
性质4 设A 是正交矩阵，则有2cond()1A =。
2.3.2 关于病态线性方程组的求解问题 （1）采用高精度的算术运算。
（2）平衡方法（行平衡，取每行绝对值最大数的倒数组成对角阵，乘在原方程左右两边）。 （3）残差校正。
2.4 迭代法
2.4.1 迭代法的一般形式及其收敛性 (1)()(0,1,...)k k x Gx d k +=+=
定义 设n n ?矩阵G 的特征值是12,,...,n λλλ，称1()max ||i i n G ρλ≤≤=为矩阵G 的谱半径。
定理2.9 对任意的向量d ，迭代法收敛的充分必要条件是()1G ρ<。 定理2.9 如果矩阵G 的某种范数||G||<1，则 （1）方程组的解*
x 存在且唯一； （2）对于迭代公式，有() *(0)lim ,k k x
x x R →∞
=?∈，且下列两式成立 () *
(1)(0)()*()(1)|||||||||||| 1|||| |||| |||||||| 1|||| k
k k k k G x x x x G G x x x x G --≤---≤-- 2.4.2 Jacobi 迭代法 (1)1()11()(0,1,...)() k k J A D L U
x D L U x D b k G D L U +---=++=-++==-+ 定理2.10 Jacobi 迭代法收敛的充分必要条件是()1J G ρ<。 定理2.11 如果||||1J G <，则Jacobi 迭代法收敛。 引理2.1 若矩阵n n
A R
∈是主对角线按行(或按列)严格占优阵，则A 是非奇异矩阵。 定理2.12 如果方程组的系数矩阵式主对角线按行(或按列)严格占优阵，则用Jacobi 迭代法求解必收敛。
2.4.3 Gauss-Seidel 迭代法 (1)1()11()()(0,1,...)()k k G A D L U x D L Ux D L b k G D L U
+---=++=-+++==-+ 定理2.13 GS 迭代法收敛的充分必要条件是()1G G ρ<。 定理2.14 如果||||1G G <，则Jacobi 迭代法收敛。
定理2.15 如果方程组的系数矩阵式主对角线按行(或按列)严格占优阵，则用GS 法求解必收敛。
定理2.16 如果方程组的系数矩阵A 是正定矩阵，则用GS 法求解必收敛。 2.4.4 逐次超松弛迭代法
(1)1()111 1 (1)1 11
()[(1)]()(0,1,...)1 1 ( )[(1)]
k k S A D L D U
x D L D U x D L b k G D L D U ω ω ω ωω ω ω +---=
++-+=-+-+++==-+-+ 实际使用的形式(1) 1(1)1()11
{[(1)]}(0,1,...)k k k x D Lx I D U x D b k ωω +-+--=--- ++=
它的分量形式是1 (1)(1)()()1 1 1
{(1)}(0,1,...)i n ij ij k k k k i i
j i j j j i ii ii ii a a b x x x x k a a a ωω
-++==+=---- + =∑
∑ 定理2.17 SOR 方法收敛的充分必要条件是()1S G ρ<。 定理2.18 如果||||1S G <，则SOR 方法收敛。
定理2.19 SOR 方法收敛的必要条件是02ω<<。
定理2.20 如果方程组的系数矩阵A 是主对角线按行(或按列)严格占优阵，则用01ω<≤的SOR 方法求解必收敛。
定理2.21 如果方程组的系数矩阵A 是正定矩阵，则用02ω<<的SOR 方法求解必收敛。 ***实系数二次方程2
0x px q ++=的两个根之模均小于1的充要条件是： ||1,10,10q p q p q <++>-+>
***A 为正定矩阵?A 的各阶顺序主子式全大于零。 3.1 幂法和反幂法
3.1.1 幂法（用于计算矩阵的按模为最大的特征值和相应的特征向量） 第一种幂法迭代格式：
00111111 11&0/(1,2,...) n T
k k k k k k k k T k k k u R u u u y u u Ay y u k ηηβ--------??∈≠? =? =?
=??=??=? 第二种幂法迭代格式： (0)(0)010(1)
(1)1(1)11()()111()=(,...,)&0||max ||/|| (,...,)sgn()(1,2,...)T n k k r j j n k k k r k k T
k k n k k k r r u h h u h h y u h u Ay h h h h k β--≤≤-----??≠?=??
=? ==?=??=?
k β作为1λ的近似值，-1k y 作为A 的属于1λ的特征向量。 3.1.2 反幂法
第一种反幂法迭代格式： 00111111 11&0/(1,2,...) n T
k k k k k k k k T
k k k u R u u u y u Au y y u k ηηβ--------??∈≠? =? =?
=??=??=? 1 k
β作为n λ的近似值，-1k y 作为A 的属于n λ的特征向量。还可以用带原点平移的反幂法求
矩阵A 的某个特征值s λ。 3.3 QR 方法
3.3.1 矩阵的QR 分解
设n
v R ∈是单位向量，令2T
H I vv =-，则H 是对称正交矩阵，称为Householder 矩阵。 引理 3.1 设有非零向量n s R ∈和单位向量n
e R ∈，必存在Householder 矩阵H ，使得 Hs e α=，其中α是实数，并且||T s s α=。(可取()() T
s e v s e s e ααα-= --)
定理3.2 任何n n ?实矩阵A 总可以分解为一个正交矩阵Q 与一个上三角矩阵R 的乘积。 设1(2,3,...,)i a i n =不全为零，令
1111(,...,)T n s a a = 11111sgn()T
c a s s =-(取sgn(0)1=-) 1111u s c e =- 111112/()T T H I u u u u =- (2) (2)112121(2)(2)2 ...0...............0...n
n nn c a a A H A a a ==
对第j 列，(1,...,)ij a i j n =+不全为零，令()()(0,...,0,,...,)j j T j jj nj s a a =，并继续计算。
最终得到121...n n n A H H H A --=是一个上三角矩阵。则121...,n n Q H H H R A -==，且
A QR =。
3.3.2 矩阵的拟上三角化 设1(3,4,...,)i a i n =不全为零，令
1211(0,,...,)T n s a a =
12112sgn()||s ||c a =-(取sgn(0)1=-) 1112u s c e =- 111112/()T T H I u u u u =- (2) (2)11 1211 (2) 11(2)(2)2 0
...............0...n n nn a a a c A H AH a a ==??
对第j 列，(2,...,)ij a i j n =+不全为零，令()()1,(0,...,0,,...,)j j T j j j nj s a a +=，并继续计算。 最终得到(1)
221122......n n n A H H H AH H H ---=为拟上三角矩阵，令122...n P H H H -=，
则(1) n T A P AP -=。
3.3.3 带双步位移的QR 方法 基本QR 方法的迭代公式是 11(1,2,...)n n k k k
k k k A A R A Q R A R Q k ?+?=∈? =?? =??=?
4.1 非线性方程的迭代解法 4.1.2 简单迭代法及其收敛性
定理4.1 设函数()[,]x C a b ?∈,在(a,b)内可导,且满足两个条件: (1) 当[,]x a b ∈时, ()[,]x a b ?∈；
(2) 当(,)x a b ∈时, |'()|1x L ?≤<, 其中L 为一常数。 则有如下结论:
(1)方程=()x x ?在区间[,]a b 上有唯一的根s ；
(2)对任取0[,]x a b ∈，简单迭代法1=()k k x x ?+产生的序列{}[,]k x a b ?且收敛于s ； (3)成立误差估计式
101|-||| 1|-||| 1k
k k k k L s x x x L L s x x x L
-≤--≤-- 定理4.2 设=()s s ?，'()x ?在包含s 的某个开区间内连续。如果|'()|<1s ?，则存在0δ>，当0[,]x s s δδ∈-+时，由简单迭代法1=()k k x x ?+产生的序列{}[,]k x s s δδ?-+且收敛于s 。
4.1.3 简单迭代法的收敛速度
定理4.3 设函数()[,]x C a b ?∈，'()[,]x C a b ?∈，且满足如下条件： （1）当[,]x a b ∈时, ()[,]x a b ?∈；
（2）当(,)x a b ∈时, '()0x ?≠，|'()|1x L ?≤<, 其中L 为一常数。 则对任取对任取0[,]x a b ∈，简单迭代法1=()k k x x ?+产生的序列{}k x 收敛于方程=()x x ?在
[,]a b 内的唯一的根s ，并且当0x s ≠时{}k x 是线性收敛的。 定理4.4 设=()s s ?，() ()m x ?
在包含s 的某个开区间内连续(2m ≥)。如果 ()()
()0(1,2,...,1)()0 i m s i m s ?? ==-≠
则存在0δ>，当0[,]x s s δδ∈-+但0x s ≠时，由简单迭代法1=()k k x x ?+产生的序列{}k x 以m 阶收敛速度收敛于s 。 4.1.4 Steffensen 迭代法
2 1(),() ()(0,1,...)
2k k k k k k k k k k k
y x z y y x x x k z y x ??+==-=-=-+ 定理 4.5（局部） 设=()s s ?，()x ?在包含s 的某个开区间内具有连续的二阶导数，并且
'()1s ?≠，则存在0δ>，当0[,]x s s δδ∈-+但0x s ≠时，由Steffensen 迭代法产生的序
列{}k x 至少以二阶收敛速度收敛于s 。 4.1.5 Newton 法 1() (0,1,...)'()
k k k k f x x x k f x +=-
= 定理 4.6（局部） 设s 是方程()0f x =的根，在包含s 的某个开区间内''()f x 连续且
'()0f x ≠，则存在0δ>，当0[,]x s s δδ∈-+时，由Newton 法产生的序列{}k x 收敛于s ；
若''()0f s ≠且0x s ≠，则序列{}k x 是平方收敛的。
定理4.7（大范围） 设函数()f x 在区间[a,b]上存在二阶连续导数，且满足条件： （1）()()0f a f b <；
（2）''()f x 在区间[a,b]上不变号； （3）当[,]x a b ∈时，'()0f x ≠； （4）0[,]x a b ∈，00()''()0f x f x >。
则由Newton 法产生的序列{}k x 单调收敛于方程()0f x =在[a,b]内唯一的根s ，并且至少是平方收敛的。 4.1.7 割线法
111()() (0,1,...)()()
k k k k k k k f x x x x x k f x f x -+--=- =-
定理 4.8 设()0f s =，在s 地某邻域内''()f x 连续且'()0f x ≠，则存在0ε>，当
10,x x I ε-∈时，由割线法产生的序列{}k x 收敛于s ，且收敛速度
的阶至少为1.618。
4.1.8 单点割线法 010()() (1,2,...)()()
k k k k k f x x x x x k f x f x +-=- =-
定理4.9 设函数()f x 在区间[a,b]上存在二阶连续导数，且满足条件： （1）()()0f a f b <；
（2）''()f x 在区间[a,b]上不变号； （3）当[,]x a b ∈时，'()0f x ≠；
（4）01,[,]x x a b ∈且00()''()0f x f x >，01()()0f x f x <。 则有单点割线法产生的序列{}k x 单调收敛于方程()0f x =在[a,b]内唯一的根s ，并且收敛速度是一阶的。
4.2 非线性方程组的迭代解法 4.2.2 简单迭代法
定理4.13（压缩映像原理） 设:n n
G D R R ?→在闭区域0D D ?上满足两个条件： （1）G 把0D 映入它自身，00()G D D ?；
（2）G 在0D 上是压缩映射，即存在常数(0,1)L ∈，使对任意的0,x y D ∈，有
||()()||||||G x G y L x y -≤- 则有下列结论： （1）对任取的(0) 0x
D ∈，由迭代公式(1)()()(0,1,...)k k x G x k +==产生的序列()0{}k x D ?，
且收敛于方程组()x G x =在0D 内的唯一解*x ； （2）成立误差估计式
* ()
(1)(0)*()()(1)|||||||| 1||||||||1k
k k k k L x x x x L L x x x x L --≤---≤--
定理4.14（局部） 设:n n G D R R ?→，*
int()x D ∈是方程组()x G x =的解，G 在*x 处 可微。若* '()G x 的谱半径*
('())1G x ρ<，则存在开球*0{|||||,0}D x x x D δδ=-<>?， 使对任意的(0)0x D ∈，由迭代法(1)()()(0,1,...)k k x G x k +==产生的序列()0{}k x D ?且收敛于*x 。 4.2.3 Newton 法
(1)()()1()'()()(0,1,...)k k k k x x F x F x k +-=-= 定理4.15 设*
int()x D ∈是方程组()0F x =的解，:n n
F D R R ?→在包含*x 的某个开区 域S D ?内连续可微，且*
'()F x 非奇异，则存在闭球*0{|||||,0}D x x x S δδ=-≤>?，使对任意的的(0)
0x
D ∈，由Newton 法产生的序列()0{}k x D ?且超线性收敛于*x ；若更有
()F x 在域S 内二次连续可微，则序列(){}k x 至少是平方收敛的。 5.1 代数插值
5.1.1 一元函数插值（Lagrange 、Newton ）
定理5.1 设01,,...,n x x x 是互异的实数，对于给定的实数x ，实值函数()f t 在区间x I 上具有n+1阶导数，则插值公式()()n f x p x ≈的余项为
(1)1()()(1)!
n n n f R x n ξω++=+ 其中x I ξ∈
且依赖于x ，101()()()...()n n x x x x x x x ω+=---。 ***(1)01() [,,...,,],(1)!
n x n f f x x x x I n ξξ+=∈+
定理5.2 设01,,...,n x x x 是互异的实数，对于给定的实数x ，实值函数()f t 在区间x I 上具有
m+n+2阶导数，1()m n H x ++则是满足条件1' 1(),(0,1,...,) '(),(0,1,...,)
k k m n i i m n i i H x y i n H x y k m ++++====??的Hermite 插值多项式，则用1()m n H x ++近似代替()f x 的余项为
(2)10() ()()()(2)!
k m n m n i k f R x x x x m n ξω+++==∏-++ 其中x I ξ∈ 且依赖于x 。 5.3 样条插值 5.3.1 样条函数
定义 步长为1、内节点等距的k 次B 样条 10111()(1)(),+!2k j k
k j k k x x j j k ++=+??+Ω=-+--∞∞ ?
∑
时，()0k x Ω≡；当1||2 k x +<时，()0k x Ω>。
定义 步长为h 、内节点等距的k 次B 样条
1 (1)/2 011( )(1)(),+!k i k j k k i k j k j x x k x x j h
k h +---++=-+??Ω=---∞∞
∑
(
)0,(,)i k i i k k i k i x x x x x x x x h -+---+≡?-?Ω? >∈?
空间,k πD 常用的两组基底及表示 11{1,,...,,(),...()}k k k n x x x x x x +-+=--L 101 1()(),!k n j
k j j j j j s x a x c x x a x b k -+===+-≤≤∑∑ (1)/2
{(),(0,1,...,1)}j k k x x a x b j n k h ---=Ω≤≤=+-L 1 (1)/2 ()(
),n k j k j k j x x s x c a x b h +---=-= Ω≤≤∑
5.3.3 B 样条为基底的三次样条插值函数 第一种边界条件''''
00''(),''()n n s x y s x y ==： 2'' 01202'' 1002 '' 12''2 126 62n n n
n n n n c c c h y h c y y h c y y c c c h y +++?=-+??=-=-??=-+? 解线性方程组Ac d =
其中2''1002233
22''164161416.........6,,...............14161466n n n n n h y y y c y c y A c d c y h y y y --??-+
=== -+
第二种边界条件'' 00'(),'()n n
s x y s x y ==： '020 '
2-22n n n
c c hy c c hy +?=??=+?? 解线性方程组Bc v = 其中' 001122+11 '
42621416.........6,,...............14162462n n n n y hy c y c y B c v c y y hy -??+??
=== -
第三种边界条件++00'()'(),''()''()n n s x s x s x s x -- ==：
22110,,n n n c c c c c c ++=== 解线性方程组Pc u = 其中12233+110641
161416.........,,...............61416114n n y c y c y P c v c y y -
=== 则2 1 30 ()(
),n j j j x x s x c a x b h +-=-=Ω≤≤∑
5.3.4 三弯矩法求三次样条插值函数 1i i i h x x -=-
3311111()()()()()()()6666
i i i i i i i i i i i i i i i i M M y M y M s x x x x x h x x h x x h h h h -----= -+-+--+-- 其中1(1,2,...,)i i x x x i n -≤≤=
由定义得到n-1个三弯矩方程：112,(1,2,...,1)i i i i i i M M M i n γαβ-+++==-
其中 1
1 1111= ,16 () i i i i i i i i i i i i i i i
h h h y y y y h h h h αγαβ+++-++=-+--= -+
第一种边界条件： 0010 122n n n n
M M M M αβγβ-+=+= 其中 ''''
000=0=2,0,=2n n n y y αβγβ=， 0 0011 111 11122...... ...
......22n n n n n n n M M M M αβγ αβγαβγβ---- ∴=
第二种边界条件：
形式与第一种边界条件相同，其中 ' 1000011 '1
6=1= ()61=() n n n n n n n
y y y h h y y y h h αβγβ----=-，， 第三种边界条件： 1102n n n n n n
M M M M M αγβ-++== 其中 1 110111= 16 = ()n n n n n n n n n
h h h y y y y h h h h αγαβ-=-+---+， 1
1112222111122.........
......22n n n n n n n n M M M M αγβγαβγαβαγβ----
∴=
5.5 正交多项式
5.5.1 正交多项式概念与性质
幂函数系{(0,1,...)}k x k =在任何区间上线性无关，可采用Gram-Schmidt 正交化方法由幂函数系产生在指定区间[a,b]上带权函数()x ρ的正交多项式系{()(0,1,...)}k x k ?=，其中()k x ?是最高次项系数为1的k 次多项式。方法如下：
0111
1()1(,)()()(0,1,...)(,)k k j k k j j j j x x x x x k +++=≡???=-=??
∑ 5.5.2 几种常见的正交多项式 1、Legendre 多项式 02()11()[(1)](1,2,...) 2!n n
n n n L x d L x x n n dx ≡?? =-=??
性质1 {()}n L x 是区间[-1,1]上的正交多项式系 1
10,()()2,21 m n m n
L x L x dx m n n -≠??
=?=?+?? 性质2 ()n L x 的最高次项系数为2 (2)!
2(!)n n n a n =
性质3 n 为奇数时()n L x 为奇函数，n 为偶数时()n L x 为偶函数。 性质4 满足递推关系：当1n ≥时，有+1121()=
()()11 n n n n n
L x xL x L x n n -+-++ 01()1()L x L x x ≡=
2、Chebyshev 多项式
()cos(arccos ),11n T x n x x =-≤≤
性质1 ()n T x 是x 的n 次多项式，并且当1n ≥时，()n T x 的最高次项系数为1
2n n a -=
性质2 ()n T x 是区间[-1,1]上带权
2 11x
-的正交多项式系 12
10,()(),021,0 m n
m n T x T x dx m n x m n ππ-≠==≠?-?== 性质3 满足递推关系011
1()1
()()2()()(1,2,...)
n n n T x T x x T x xT x T x n +-≡?? =??=-=?
性质4 当1n ≥时，()n T x 在开区间(-1,1)内有n 个互异实零点，它们是
2()1 cos
(1,2,...)2i n i x i n π-+==
性质5 当n 为奇数时()n T x 是奇函数，当n 为偶数时()n T x 为偶函数。 3、Laguerre 多项式
()
()(0,1,...)n n x x n n d x
e U x e n dx
-== 性质1 ()n U x 是x 的n 次多项式，并且最高次项系数为(1)n n a =-
性质2 {()}n U x 是在区间[0,∞)上带权x e -的正交多项式系 2 0,()()(!),x
m n m n
e U x U x dx n m n ∞ -≠?=?=?
性质3 ()n U x 满足递推关系01211()1
()1()(21)()()(1,2,...)n n n U x U x x U x n x U x n U x n +-?≡? =-+??=+--=? 4、Hermite 多项式 2 2
()()(1)(0,1,...)n x n x n n d e H x e n dx
-=-= 性质1 ()n H x 是x 的n 次多项式，并且它的最高次项系数为2n
n a = 性质2 {()}n H x 是在区间(-∞,+∞)上带权2 -x e
的正交多项式系 2
0,()()2!,x m n n m n e
H x H x dx n m n π∞ --∞ ≠??=?=
性质3 ()n H x 满足递推关系011 1()1()2()2()2()(1,2,...)
n n n H x H x x H x xH x nH x n +-≡?? =??=-=?
5.6 函数的最佳平方逼近 5.6.1 最佳平方逼近的概念与解法
定理 5.7 设()[,]f x C a b ∈，*()n p x H ∈是子空间n H 中对于()f x 的最佳平方逼近元素的充分必要条件是
*(,)0,(0,1,...,)j f p j n ?-== 或对任一个()n p x H ∈，总有 *(,)0f p p -=
***除Legendre 、Chebyshev(最经济展开)，还可以用{1,cos ,sin ,...,cos ,sin }x x nx nx ，它是区间[0,2]π上的正交函数系。
5.6.3 样条函数在最佳平方逼近中的应用
可以选用空间,k πD 的k 次B 样条函数组，但是由于这一函数组不是正交函数系，所以使用过程稍有不同，但仍然遵循定理5.7。
5.6.4 曲线拟合与曲面拟合（最小二乘） 1、曲线拟合
定理5.11 设函数组{()(0,1,...,)}j x j n ?=在点集{(0,1,...,)}()i x i m n m =≤上线性无关，则
*1n c R +∈实现最小二乘法求拟合曲线的充分必要条件是*T T A Ac A y =。
010101****01((),(),...,())(0,1,...,) [,,...,](,,...,) (,,...,) T j j j j n n T m T
n x x x j n A y y y y c c c c φφφφ===== 拟合函数为* * 1()()n j
j j y x c x ?==∑，拟合精度用误差平方和描述，即* 2 [()] m i i
i y x y σ==-∑。 2、曲面拟合
设在三维直角坐标系Oxyu 中给定(m+1)*(n+1)个点(,,)(0,1,...,;0,1,...,)i j ij x y u i m j n == 乘积型基函数{()()(0,1,...,;0,1,...,)}r s x y r M s N ?ψ==
(1)(1)(1)(1)(1)(1) 11
[()][][()]()()r i m M ij m n s j n N T T T B x U u G y C B B B UG G G ?ψ+?++?++?+--====
拟合函数为* * 00 (,)()()N M rs
r i s j s r p x y c x y ?ψ=== ∑∑，拟合精度为*2 00 [(,)]n m
i j ij j i p x y u σ===-∑∑。 6.2 插值型求积公式 ()0 ()()n b n k k a
k f x dx f x λ=≈∑? 其中() ()(0,1,...,)b n k k a
l x dx k n λ==?
(1)0 ()[()](1)!n n b n j a
j f R x x dx n ξ+==-+∏? 其中(,)a b ξ∈
定理6.1 n+1个节点的插值型求积公式至少具有n 次代数精度。 推论 对于n+1个节点的插值型求积公式的求积系数，必满足
()0 n n k k b a λ ==-∑
定理6.2 n+1个节点的求积公式如果具有n 次或者大于n 次的代数精度，则它是插值型求积公式。
6.3 Newton-Cotes 求积公式 如果节点等距，且0,,(0,1,...,),n k b a x a x b x a kh k n h n -===+==
，则相应的插值型求积公式称为Newton-Cotes 求积公式，相应的求积系数称为Newton-Cotes 求积系数。 令x a th =+
()()
()(0,1,...,)n n k k b a c k n λ∴=-= ()00 (1)[()]!()!n k n n n k j j k c
t j dt k n k n -=≠-=--∏? ()0 ()()n
b n k a k b a f x dx f a k n λ=-≈+∑? 2(1) 00 ()[()](1)!n n
n n n j h R f t j dt n ξ++==-+∏?
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