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误差理论与测量平差基础习题集(2)

2021-11-25 来源:钮旅网
误差理论与测量平差基础习题集(2)

第七章间接平差§7-1间接平差原理

7.1.01 在间接平差中,独⽴参数的个数与什么量有关?误差⽅程和法⽅程的个数是多少?

7.1.02 在某平差问題中,如果多余现测个数少于必要观测个数,此时间接平差中的法⽅程和条件平差中的法⽅程的个数哪—个少,为什么?

7.1.03 如果某参数的近似值是根据某些现测值推算⽽得的,那么这些观测值的误差⽅程的常数项都会等于零吗?7.1.04 在图7-1所⽰的闭合⽔准⽹中,A为已知点(HA

=10.OOOm),P1,P

2为⾼程未知点,测得离差及⽔准路线长度为:h1

= 1.352m,S1=2km,h2

=-0.531m,S2= 2km,h3

= - 0.826m,S3= lkm。

试⽤间接平差法求各髙差的平差值。7.1.05在三⾓形(图7-2)中,以不等精度测得α=78o23′12\",P

α=1;

β= 85o30 '06 \",P =2;

γ=16o06'32\",Pγ=1;

δ=343o53'24\δ=1;

试⽤间接平差法求各内⾓的平差值。

7. 1.06设在单⼀附合⽔准路线(图7-3)中已知A,B两点⾼程为HA,HB,路线长为

S 1,S 2,观测⾼差为h 1 h 2,试⽤间接平差法写出P 点⾼程平差值的公式。 7. 1.07在测站0点观测了6个⾓度(如图7-4所⽰),得同精度独⽴观测值: L 1=32o25'18\已知A ⽅向⽅位⾓αA =21o10'15\",试按间接平差法求各⽅向⽅位⾓的平差值。

§7-2误差⽅程

7.2.08在间接平差中,为什么所选参数的个数应等于必要观测数,⽽且参数之间要函 数独⽴?

7.2.09能否说选取了⾜够的参数,每⼀个观侧值都能表⽰成参数的函数? 7.2. 10在平⾯控制⽹中,应如何选取参数? 7.2. 11条件⽅程和误差⽅程有何异同? 7.2.12误差⽅程有哪些特点?

7.2. 13图7-5中,A,B 为已知点,P 1~ P 5为待定点,P 1, P 5两点间的边长为已知,

L 1~ L 6为⾓度观测值,S 1~S 6为边长观测值,试确定图中独⽴参数的个数。 7.2.14在图7-6中, A,B 已知点,P 1 ~P 3为未知点,观测⾓度L 1~ L 11,若设⾓度观

测值为参数独⽴参数有哪些⾓?

7.2.15s试列出图7-7中各图形的误差⽅程式(常数项⽤字母表⽰)(I)A,B,C,D为已知点,P1、P5

为未知点.观测⾼差h1~h5,设h2,h4为参数;

(2)A,B为已知点,P1~ P3

为未知点,观侧⾼差h1~h7,设P1

点⾼程、⾼差h3,h5为参数;(3) P

1~ P4

为未知点,观测⾼差h1~h6,设P1~ P3

点的⾼程为参数

7.2.16在直⾓三⾓形(图7-8)中,测得三边之长为L1 L2和L3

若设参数,试列出该图形的误差⽅程式。7.2. 17为确定某⼀直线⽅,在Xi

(i=1,2,…,5)处(设x

i ⽆误差)观侧了5个观侧值yixi/cm1 2 3 4 5yi/cm3.304.56

5.90 7.10 8.40 试列出确定该直线的误差⽅程。7. 2. 18。在待定点P 上,向已知点A,B,C进

⾏⽅向观测。如图7-9所⽰,设为零⽅向定向⾓平差值, Li

( i=1,2,3)为⽅向观测值,A,B,C

点的坐标及P点的近似坐标均列于表中,试列出全部观侧值的误差⽅程。点号X/m Y/m 观测值(o′\")

A 826.823 393.245 ZP21 0342

B 695.741 445.678 L125 1838

C 633.226 371.062 L271 2854

P 703.800 264.180 L310222 36

7. 2. 19在图7-10中,A ,B ,C为已知点,今在其间加测⼀点P,其近似坐标为=771.365m,465. 844m.

已知起算数据和观测值列⼗表中,试列出全部观测点号坐标X/m Y/mA B C 867.106

734. 058598.943338.796279.305372.070⾓号 1 2 3 4观测值79o51'20\"53o35'50\"66o50'10\"63o00'43\"

7.2.20图7-ll中,A,B,C为已知点,P为待定点,⽹中观测了3条边长L1~L3,起算

数据及观测数据均列于表中,现选待定点的坐标平差值为参数,其坐标近似值为=57 578.93m,=70 998. 26m,试列出各观测边长的误差⽅程式点号坐标X/m Y/mA B C60509.59658 238.93551 946.28669902.52574 300. 08673 416.515

7.2.21有边⾓⽹如图7-12所⽰,A,B,C为已知点,P1P2

为待定点,⾓度观测值为L 1~L7

,边长观测值为S,已知点坐标和观测数据均列于表中,若设待定点坐标为参数,试列出全部误差⽅程。点号坐标X/m Y/m编号L1L2L3观测值/m

3128.86 3367.20 6129.88点号近似坐标X0/m Y0/mP1P2

870.180 294.430450.720841.950

7.2.22有⼀中⼼在原点的椭圆,为了确定其⽅程,观测了10组数据(xi,

y i )(i=1,2,…,10),已知xi

⽆误差、试列出该椭圆的误差⽅程。

7.2.23为确定某⼀抛物线⽅程y2 =ax,观测了6组数据(xi,yi

) (i=1,2,..,6),已知x i ⽆误差,yi

为互相独⽴的等精度观测值,试列出该抛物线的误差⽅程。7.2.24某⼀平差问题列有以下条件⽅程:V 1-V2+V3+5=0,V 3-V4-V5-2=0,

V 5-V6-V7+3=0,V 1+V4+V7+4=0,

试将其改写成误差⽅程。

7.2.25某⼀平差问题列有以下误差⽅程:V 1 =-X1+3,V 1 =-X2-1,V 1 =-X1+2,V 1 =-X2+1,

V 1 =-X 1+ X 2-5,试将其改写成条件⽅程。§7-3精度评定

7.3.26对控制⽹进⾏间接平差,可否在观侧前根据布设的⽹形和拟定的观测⽅案来估算⽹中待定点的精度,为什么?

7.3.27在间谈平差中,计算V T PV 有哪⼏种途径?简述其推导过程。 7.3.28为什么要求参数函数的协因数 如何求

7. 3. 29已知某平差问题的误差⽅程为V 1 =-, V 2 =-, V 3 =-1, V 4 =-,

V 5 =3,

观测值的权阵为:

=423

22P , 试求参数及协因数阵。7. 3.30已知某平差问题的误差⽅程为:V 1 =+2, V 2 =+3,

V 3 =- 1, V 4 =+ 6,V 5 =+ 5,

观测值的权阵为单位阵,试根据误差⽅程求单位权中误差估值。 7.3.31如图7-13所⽰的⽔准⽹中,A,B 为已知点P 1~ P 3为待定点,观测⾼差h 1 ~

h 5,相应的路线长度分别为4km,2km,2km,2km,4km ,若已知平差后每千⽶观测⾼差中误差 的估值认=3mm.试P 2点平差后⾼程的中误差。

7.3.32对某⽔准⽹列出如下误差⽅程x

--???????

--=286000101101101?21

x V , 已知Q LL =I,试按间接平差法求: (1)未知参数的协因数阵; (2)未知数函数的权

7.3.33设由同精度独⽴观测值列出的误差⽅程为-?

=3-142-01

11-1-110?V2141

x 试按间接平差法求。

7.3. 34在间接平差中,与、与V 是否相关?试证明之。

7.3.35 如图7.14所⽰的⽔准⽹中,A 为已知⽔准点,B,C,D 为待定⾼程点,观测了6段⾼差h 1~h 6,,线路长度S 1 =S 2 =S 3 =S 4=1km, S 5 =S 6=2km ,如果在平差中舍去第6段线

路的⾼差h,,问平差后D点⾼程的权较平差时不舍去h6

时所得的权缩⼩了百分之⼏?

7. 3.36如图7-15所⽰的⽔准⽹中,A,B为已知点,P1~P3

为待定点,独⽴观测了8段路线的⾼差h1~h8

,路线长度S1=S2=S3=S4=S5=S6=S7=1km,S8

=2km,试问平差后

哪⼀点⾼程精度最⾼,相对于精度最低的点的精度之⽐是多少?

7.3.37在图7-16所⽰的三⾓形中,A,B为已知点,C为待定点。A,B点的已知坐标,C点的近似坐标及AC和BC边的近似边长列于图中(均以km为单位),试按间接平整法求C点坐标的权倒数和相关权倒数(设=2x105,参数以m为单位)。7.3.38某⼀平差问题按间接平差法求解,已列出法⽅程为- 2.4=0,+ 3.2=0,试计算函数的权。

7.3.39在三⾓⽹(如图7.17所⽰)中,A,B,C为已知点,D为待定点,观测了6个⾓度L 1–L6

,设D点坐标为参数,已列出其⾄已知点同的⽅位⾓误差⽅程:

= - 4. 22+ 1. 04,=0.30-5.96,

= 2.88 + 2.28, 试写出⾓BDC平差后的权函数式。7. 3.40 有⽔准⽹如图7-18所⽰,A,B,C,D为已知点,P1、P2

为未知点,观测⾼差h1- h5

,路线长度为S1 =S2=S5=6km,S3=8km,S4

=4km,若要求平差后⽹中最弱点平差

后⾼程中误差5mm,试估算该⽹每千⽶观测⾼差中误差应为多少。7.3.41在图7-19的⼤地四边形中,A,B为已知点,C,D为未知点,L1~L 8

为⾓度观测

值,若设未知点的坐标为参数,试写出求CD边长平差值中误差的权函数式。

§7-4⽔准⽹平差⽰例

7. 4. 42 在⽔准⽹平差中,定权式为以km为单位,当令c=2时,经平差计算求得的单位权中误差代表什么量的中误差?在令c=1和c=2两种情况下,经平差分别求得的V, ,以及相同吗”

7.4.43在图7-20所⽰的⽔准⽹中,A,B为已知点H

A =10. 210m,HB

=12.283m,观测各点间的⾼差为:h1=1.215m,h2=0.852m,h3=0. 235m,h4

=-2. 311 m,h5=0. 150m,h6=1.062m,h7= 1.931m,

h8=-2. 166m

设观测值的权阵为单位阵(各路线长度相同),试按间接平差法求待定点C,D,E最或是⾼程及其中误差。

7. 4. 44⽔准⽹(如图7-21所⽰)中,A,B为已知点,HA =5.530m, HB= 8.220m,观测⾼

差和各路线长度为:h 1 =1. 157m, S1=2km,h 2=I.532m, S2=2km,

h 3 =-2.025m, S3=2km,h 4=0. 663m, S4=2km,h 5 =0.498m, S5=4km,

试按间接平差法求 (1)待定点C,D最或是⾼程;(2)平差后C,D间⾼差的协因数及中误差(3)在令c=2和c=4两种情况下,经平差分别求得的是否相同?为什么?

7.4.45有⽔准⽹如图7-22所⽰,A,B为已知点,HA =21. 400m,HB

=23. 810m,各路线观侧离差为:

h

1 =1.058m, h2

= -0.912m,h

3=0. 446m, h4

= -3, 668m,h

5=1. 250m, h6

=2.310m h7=-3.225m

设观测⾼差为等权独⽴观测值.试按间接平差法求P1 P2 P3等待定点平差后的⾼程及中误差。

7.4.46在图7-22所⽰的⽔准⽹中,加测了两条⽔准路线8,9(如图7-23所⽰),h8 =1.973m,h9

=-1.354m,其余观测⾼差见题7.4.45。设观侧⾼差的权为单位阵, (1)增加了两条⽔准路线后,单位权中误差是否有所变化?(2)增加了两条⽔准路线后,待定点P1P2P3

平差后⾼差的权较之未增加两条⽔准路

线时有何变化?

§7-5间接平差特例—直接平差

7.5.47有附合⽔准路线(图7-24),P为待定点,A,B为已知点其⾼程为HA HB,观测

⾼差为h1, h2

,相应的路线长度为S1km, S2

km,试求P点平差后⾼程的权PX。

7. 5. 48在如图7-25所⽰的⽔准⽹中已知⾼程HA =53 m, HB

=58.00 m,测得⾼差(设

每条线路长度相等) h 1 =2.95 mh 2 =2.97 m h 3=2.08 m h 4 =2.06 m

试求: (I)P 点⾼程的平差值; (2)P 点平差后⾼程的权倒数。

7.5.49在如图7-26所⽰的⽔准⽹中,A,B,C 为已知点,P 为待定⾼程点,已知H A =2I.910m, H B = 22. 870 m, H C = 26.890m,观测⾼差 及相应的路线长度为:

h 1 =3.552m h 2 =2.605m, h 3= 1.425m, S 1 =2km, S 2 =6km, S 3 =3km, 试求;(1)P 点的最或是⾼程;(2)P 点平差后⾼程的权(当c=1时)

7.5.50按不同的测回数观测某⾓,其结果如下:设以5测回为单位权观测试求

(1) 该⾓的最或是值及其中误差(2)⼀测回的中误差§7-6三⾓⽹坐标平差

7.6.51在图7-27所⽰的测⾓⽹中,A.B,C 为已知点,P 点为待定点。已知观测值

测回数 78o18′05\" 5 09 5 08 8 14 7 15 6 103

点坐标和P点的近似坐标为:X

A =4 728. 008 m,YA

=227. 880 m;X

B =4 604.993 m, YB

=362.996m;X

C =4 750. 191 m, YC

=503.152m;

=4 881. 27m, =346. 86m。⾓度同精度观测值:L1= 94o29'32\2=

44o20'36. 3\3

=47o19'43.3\

设P点的坐标平差值为未知参数,,试按间接平差法,

(1)列出误差⽅程及法⽅程;

(2)计算P点坐标平差值及协因数阵 7.6.52在三⾓形ABC中(如图7-28所⽰)A,B为已知点, C点为待定点,已知点坐标为:XA =1km, YA=1km,XB =1km, YB=6km,

C点的近似坐标为:

5.3km, 3.5k., 近似边长:5.9km, 5. 0kmL1,L2,L3

,是同精度⾓度观测值。试按间接平差法求C点坐标的权倒数及相关权倒数。

7.6.53在图7-29所⽰的三⾓⽹中A,B为已知点, P1,P2

为待定点,已知点坐标为XA =867. 156m, XA

=252. 080m,X8 =638. 267m,Y, =446.686m,待定点近似坐标为:

855.050m ,491.050m , 634.240m ,222.820m ,同精度⾓度观测值为:

L 2=94o15'21\设P 1 ,P 2点坐标平差值为参数x ?41

,试按坐标平差法求

(1 ) P 1 ,P 2点坐标平差值及点位中误差;(2)观测值的平差值

7.6. 54在图7-30所⽰的测⾓⽹中,A,B,C 为已知点,P 1 ,P 2为待定点,L 1~ L 10为⾓度观测值已,知点坐标与待定点 近似坐标为点号

坐标 X/m Y/m A B C

883.2892 640.2838 612.0508259.1385 144.1899 463.8277

近似坐标/mX 0/m Y 0/m 点号777.416320.647 504.160844.971

编号 观测值(o ′ 1 55 28 13.2 2 97 41 53.9 3 93 02 06.0 4 44 03 51.6 550 42 44.3

同精度⾓度观侧值为 试按坐标平差法求 (1)误差⽅程及法⽅程;(2)待定点最或是坐标及点位中误差; (3)观测值改正数及平差值。7.6.55有三⾓⽹如图7-31所⽰,已知BH 边的⽅位⾓为= 284o57'29.5\为 已知点,其坐标为;

X A =97 689. 562m Y A =31 970. 853m X B =102 344. 255 m,Y B =34 194. 167 m, C,D,E 点为待定点、观测⾓值为⾓号 观测值 ⾓号 观测值 ⾓号 观测值 160o05′11.4\"4

66o40′43.9\"7

65o23′03.9\"

2 56o30′ 5 49o21′8 60o34′6 59 5

7 57.2 7 69 19 22.18 9

9 56 38.2 9 29 05 51.3 10 50 57 29.12.5\"49.8\" 45.2\" 363o24′37.6\"6

63o57′27.7\" 954o02′11.8\"10 54o14′40.2\"

试求:(1)待定点坐标平差值:(2)CE 边的相对中误差。§7-7测边⽹坐标平差

7.7.56在图7-32所⽰的直⾓三⾓形ABC 中,边长观测值L 1= 278. 61 m, L 2=

431. 52m, L 1=329.56m,0L =I,若选AB 及AC 距离为未知参数,。并令=L 3 ,= L 1

,试按间接平差法: (1)列出误差⽅程;(2)求改正数V 及边长平差值

(3)列出BC 边边长平差值的未知数函教式,并计算其权。

7.7.57在图7-33所⽰的侧边⽹中A,B,C 为已知点,P 为待定点,已知点坐标为:

X A =8 879. 256m ,Y A =2 224.856 m X B =8 597. 934m ,Y B =2 216.789mX C =8 853.040m,Y C =2 540. 460 m P 点近似坐标为: =719.900m,= 332. 800 m

同精度测得边长观测值为:

S 1=192.478 m, S 1=168. 415 m, S 1=246.724m 试按坐标平差法求: (1)误差⽅程; (2)法⽅程;

(3)坐标平差值及协因数阵。补 (4)观侧值的改正数X 及平差值⼏ 7.7.58在图7-34所⽰的测边⽹中,A,B,C 为已知点,P 1,P 2为待定点,观测了7条边长,观测精度为(cm) (

的单位为m),设100m 长度的观测精度为单位权中误差,观测值及各观测值的权为:已知坐标和近似坐标为

编号 边观测值/m 1 249.115 2 380.913 3 317.406 4 226.930 5 321.154 6 215.109 7194.845

设待定点坐标平差值为参数,试(1)列出误差⽅程及法⽅程试2)求出待定点坐标平差值及点位中误差;(3)求观测值改正数及平差值。7. 8. 59如图7-35所⽰的单⼀附合导线,A,B为已知点P1 ,P2,P3

为待定点,观测⾓中

误差3\观测边中误差为。=(mm)

已知数据和观测值为:

点号已知坐标已知⽅位⾓X/ m Y/mA 6 556. 947 4 101.735 49o30'13.4\"B 8 748. 155 6 667.647

⾓号观测⾓边号观测边/mo′ \"

1 291 45 27. 8 S11 628.524点号已知坐标/mX/m Y/mA B C 586.843776.407795.565488.027568.693191.581点号

近似坐标/mX/m Y/mP1P2

880.267 367.025238.972585.832

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