用Mathematica研究自然对数的底数e

作 者：陈 龙

摘要：e是一个奇妙有趣的无理数，它取自瑞士数学家欧拉的英文字头。e与被认为是数学中最重要的两个超越数，e、

及i（i为虚数单位）三者间存在ei1的关系。本文利用Mathematica软件研究了自然对数的底数e，介绍了e的

一些相关知识、e与自然对数的关系以及e的值的计算方法等。

关键词：Mathematica，e，自然对数

一、引言

远在公元前，圆周率就被定义为“周长与直径之比”。自古以来，的近似值一直取为3.14或

224285。通过许多数学家的努力，的近似值位数不断增加。目前用电脑计算圆周率。由于电3.177脑速度等功能不断改进，今后的近似值位数会越来越多。

另外一个奇妙有趣的无理数是e，它取自瑞士数学家欧拉（Euler，1707-1783）的英文字头。欧拉首先发现此数并称之为自然数e。但是，这种所谓的自然数与常见正整数1，2，3，„„截然不同。确切地讲，e应称为“自然对数logea的底数”。

e与被认为是数学中最重要的两个超越数（transcendental number，若一数为fx0之根，其中f为某一至少一次的整系数多项式，则此数称为代数数（algebraic number），否则称为超越数）。e、

及i（i为虚数单位）三者间存在e软件来计算e。 二、欧拉数e

考虑数列an，an=

ni1的关系。本文主要介绍e的一些知识以及用

Mathematica

11111=，n1，其中n!=nn1321，n1，0!1，1!2!n!i!i0应用下述关于级数收敛的基本定理之一可证明出其极限存在。

定理1.设数列an为单调且有界，则当n时，ana（a为一有限数）。 首先，对an=

51，显然为单调递增数列。其次，=2，=，而n3时， aaa12n2i!i0n1111 22323423n1111 1+1+23n1

2222 an=1+1+

112 = 1+3， 112即数列an以3为一上界。故有定理1知，数列an收敛至一实数，由于此极限值与圆周率一样在许

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n多数学的公式中出现，所以不可避免的需要给它一个特别的符号。欧拉似乎是第一个体会到此数之重要性的数学家，他并以e来表示此数。后来符号e就被广为采用，后人并称e为欧拉数（Euler’s number）以纪念他。由于e为n时an之极限，故e可表示为 （1） e=

1 。 i0i!以下说明如何以an来求e之近似值，事实上an收敛至e的速度极快。这里借助一几何级数，对任意

nm，

an= am+

111

m1!m2!n!1111  am+12nm1m1!m1m1m1  am+

1m1!111m1

= am+故对nm，

1

mm!

1

。 mm!

1

m1 。 mm!

（2） amanam+若令n，则上式为

（3） am eam+即对m1，am与e之差最多为

1

。由于m!随着m增长速度极快，故am为e的一个很好的估计值。mm!

7例如，若m=10，则a10与e之差小于10，因此经由计算a10，得到e=2.718281„。

a[n_]1 i0i!n

N[a[10],50]

2.7182818011463844797178130511463844797178130511464 N[E,50]

2.7182818284590452353602874713526624977572470937000 N[a[10]-E,50]

2.731266075564247442020627801803943404255357509524910 a[10] True

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8E107

当然若m取大一些便可再更精确些，如e=2.71828182845904523536028„。这是欧拉用笔算得到的e之小数前23位。欧拉22岁时，在一篇论文中写着“这个数的对数是1，以e命名之，它的值为2.71828„，它的常用对数为0.4342944„”。

，可利用前述（3）对e的估计式。设e=p/q为一有e是无理数的证明（这是欧拉在1737年所证出）

理数，其中p，q为二互质正整数。易见q2，此因e介于2与3之间，故e不可能为整数。现由（3）式知

aq 将上式每项各乘以q!得

q!aq pq1!  q!aq+

1p 。 aq+

qqq!1q!aq+1。 q而由aq之定义知，q!aq为一整数，如此则得整数pq1!介于两相邻整数q!aq及q!aq+1之间的矛盾结果。故e不是有理数。

下面我们来看另一种常见的引进e的方法。考虑数列

1 bn=1 ，n1。

n则由二项式定理（Binomial Theorem）可得

nn1 bn= kn

k0nk =

1nn1nk1 kk!nk0n = 1+1+

11112n11111 2!nn!nnn 

1 k!k0n = an  3 。

又由上面第三个等号的右侧可看出，bn的每一项对n递增，且bn1比bn多一正的项，故bn为一单调递增且有界数列必有极限。故得证limbnb存在。

n接着证明be。对ln，仍由前述第三个等号之右侧可得 bl111111nl111。 2!ln!ll- 3 -

若先固定n，而令l，则上式左侧趋近于b，而右侧趋近于an。即此时有ban，而又有bnan，因此

bnanb， n1 。

令n，由夹逼定理，便得blimbne。也就是我们得到下述重要的极限结果：

n（4） lim1n1e 。 nn定理2.（夹逼定理）若三个数列xn，yn，zn从某项开始成立 xnynzn，nn0 且limxnlimzna，则limyna。

nnn我们发现e这个奇妙的数居然可用两种完全不同的方式来导出，事实上尚有许多方式皆可导出e。 三、e与自然对数

中学学的对数以10为底，称为常用对数，记作lgN。但科学上常用的对数却以一个无理数

e=2.71828„为底，称为自然对数，记作lnN或logN。

早在公元17世纪纳皮尔（J. Napier）发明对数时，其目的是简化天文数据的计算，将乘法转化为加法来计算。他希望将每个正实数N表示为某个给定的正实数a的幂：N=a。如果N=a，M=a，则

nnm

MN=amn，M，N的乘法变成了m，n的加法。根据这种思想可编制出相应的对数表，列出幂（即

真数）N与指数（即对数）n之间的对应关系。但要使得表中相邻两个真数比较接近，就应当取低a接近1。比如取a=1.001。

幂（真数）N 指数（对数）n 1.001 1 1.002001 2 1.003003 3 „ 1.009036084 „ 9 1.01004512 10 1.020191145 20 „ „ 不难看出,用接近于1的a=1.001为底编制对数表要比以10为底优越。同时为了提高精确度，还可以

1取更接近1的1.0001来代替1.001。一般地，可以考虑an=1作为对数的底，n越大越好。

n11应用Mathematica软件：观察当n趋于无穷大时数列an=1和An=1nnDo[Print[N[(1+10^(-m))^(10^m)]],{m,1,7}]//求an，其中n10 Out[1]：=2.59374

2.70481 2.71692 2.71815

2.71827

2.71828

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mnnn1的变化趋势：

2.71828

Do[Print[N[(1+10^(-m))^(10^m+1)]],{m,1,7}]//求An，其中n10 Out[2]：=2.85312 2.73186 2.71964 2.71842 2.7183 2.71828 2.71828

由Out[1]和Out[2]观察出它们的变化趋势：an随着n的增大而增大，An随着n的增大而减小。 pic1=Plot[(1+10^(-x))^(10^x),{x,1,4},PlotStyle{RGBColor[0,0,1]}]

2.722.72.682.662.642.623.5 m1.522.53 Graphics

pic2=Plot[(1+10^(-x))^(10^x+1),{x,1,4},PlotStyle{RGBColor[1,0,0]}]

2.842.821.52.782.762.742.7222.533.5 Graphics

pic3=Plot[E,{x,1,4},PlotStyle{RGBColor[0,0,1]}]

543211.522.533.5 Graphics

- 5 -

Show[pic1,pic2,pic3]

2.732.7252.722.7151.52.70522.533.5 Graphics

11通过观察可以看到，当n增大时an=1递增，An=1nnnn1增减。随着n的无穷增大，an，An无限接近，趋于共同的极限e=2.71828„，以这个e为底的对数称为自然对数。

上面是通过对数表的编制来说明自然对数是怎样自然产生的。虽然当初纳皮尔编制对数表的时候还没有这样明确地提出自然对数，但他一开始编制的决不是以10为底的常用对数表，他以0.99999为底编制的对数表从本质上接近于自然对数表。只是到后来，为了使用的方便，才采用换底公式将已编成的对数表改成了以10为底的常用对数表。

在科学中广泛应用以e为底的自然对数的更直接的理由是：它使涉及到对数的微分和积分公式变得最为简单。

下面来研究与e有关的极限。①计算当x10，n1,2,3,4,5,6,7时，xlg1x/x的值。

nDo[Print[Log[10,1.0+10.0^(-n)]/(10^(-n))],{n,1,7}] 0.413927 0.432137 0.434077 0.434273 0.434292 0.434294

0.434294

通过观察可以看到，当nx趋于0时，x趋近于某一个极限值。就是常用对数ylgx在

x1处的导数。它不是一个简单的数。定义yfx1lgx，则fx在x1处的导数

x0limf1xf11

xa10e为底的对数。 是以xa而fxlgx/lg10②计算a10loge

Do[Print[10^Log[10,1.0+10.0^(-n)]/(10^(-n))],{n,1,7}]

11. 101. 1001. 10001.

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100001.

n③计算当x10，n1,2,3,4,5,6,7时，xln1x/x的值。 Do[Print[Log[1.0+10.0^(-n)]/(10^(-n))],{n,1,7}] 0.953102 0.995033 0.9995 0.99995 0.999995 0.999999 1.

通过观察可以看到当x0时，x趋于一个极限值1。

四、e的计算

上述的①、②也是e的计算中的一种方法。下面再介绍几种方法。 1、求极限法

11由于无理数e值是x无限增大时，1的极限，通常书写为：x时，1e或

xx1lim1e。 xx亦可写为x0时，1xe或lim1xe。

x1xxxx1xLimit[(1+x)^(1/x),x0]

e

N[Limit[(1+x)^(1/x),x0],50]

2.7182818284590452353602874713526624977572470937000 2、泰勒级数法

欧拉认为，一切函数均可展开为无穷级数。在此，利用指数函数的泰勒级数

xx2x3xn 来计算e。 e=11!2!3!n!x将x1代入上面的级数可以得到 （5） e=11111 1!2!3!n!泰勒级数是无穷级数，实际计算时必然只能取它的前n项，导致截断误差

xx2xn Ene11!2!n!

x但因为无穷级数（5）收敛迅速（极快地趋近于某一定值），所以计算起来相当顺利，且实际截断误差比较

小。

用Mathematica计算e n=100

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taylor=N[Sum[1/k!,{k,0,n}],50] 100

2.7182818284590452353602874713526624977572470937000 3、数值积分法

利用定积分

计算出

10exdxe1

10exdx这个积分的数值，再加上1也就得到了e的值。

要计算定积分S=

edx，也就是计算y轴x0和平行y轴的直线x1以及它们之间的曲线

x01yex与x轴所包围着的曲边梯形T的面积。为此，用一组平行于y轴的直线

xxi1in1,0x0x1x2xn1xn1将曲边梯形T分成n个小曲边梯形，总面积S分

成这些小曲边梯形的面积之和。如果取n很大，使每个小曲边梯形的宽度都很小，可以将它的上方的边界

fxexxi1ixi近似地看作直线段，将每个小曲边梯形近似地当作梯形来求面积，就得到梯形公

式。如果更准确些，将每个小曲边梯形的上边界近似地看作抛物线段，就得到辛普森公司。具体公式如下：

梯形公式：设分点x1,,xn1将积分区间a,b=0,1n等分，即xi=aiba/n，0in，所有的曲边梯形的宽度都是hba/n。记yiexi。则第i个曲边梯形的面积Si近似地等于梯形面积

1yi1yih。将所有这些梯形面积加起来就得到 2Sy0ynbayyy12n1 n2这就是梯形公式。

辛普森公式：仍用分点xi=aiba/n 1in1将区间a,b=0,1分成n等份，直线

xxi1in1将曲边梯形分成n个小曲边梯形。再作每个小区间xi1,xi的中点

xi121x将第i个小曲边梯形的上边界yfxexi1ixi近似地看作经过三aiba/n。

2,x1i的抛物线段，则可求得 i2点x，fxxxi1,xbaSiyi14y1yi in2i1其中y1=fx1=e2。于是得到

ii22- 8 -

ba Sy0yn2y1y2yn14y1y3y1

n6n222这就是辛普森公式。

Mathematica程序

a=0;b=1;y[x_]:=E^x; n=1000;

tixing=N[(b-a)/n*(Sum[y[a+i*(b-a)/n],{i,1,n-1}]

+(y[a]+y[b])/2),50]+1

simpson=N[(b-a)/6/n*((y[a]+y[b])+2*Sum[y[a+i*(b-a)/n],{i,1,n-1}] +4*Sum[y[a+(i-1/2)*(b-a)/n],{i,1,n}]),50]+1 2.7182819716491952204449077130791851392005128194662 2.7182818284590458319859045962507336985392014058638

参 考 文 献

1． 李尚志等著，数学实验，高等教育出版社，1999年9月第1版 2． （日）堀场芳数 著，e的奥秘，科学出版社，1998年2月第1版 3． 黄文璋 著，数学欣赏，中国统计出版社, 2001年12月第1版

4． 张韵华 著，符号计算系统Mathematica教程，科学出版社，2001年11月第1版

Studying number e by Mathematica

Author：Chen Long

Abstract：e is a fantastic and interesting irrational number，which derives from the beginning letter of Euler who is a Swiss mathematician．It is thought that the e and pi are the most important transcendental number in mathematics．The e，pi，i (i is an imaginary number unit) satisfy

ei1．This text studies number e (base of natural logarithms) using Mathematica, tells some

knowledge about e，the relation between e and natural logarithms and computation of e, etc． Keywords：Mathematica，e，natural logarithms

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