中考复习讲义15——圆(含答案)

教学内容 圆 【中考回顾】 1、[15年17题，9分]如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD，PO. （1）求证：△CDP∽△POB； （2）填空： ① 若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为 ； ② 连接OD，当∠PBA的度数为 时，四边形BPDO是菱形. 2、[14年17题，9分]如图，CD是⊙O的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA，PB，切点分别为点A，B． （1）连接AC，若∠APO=30°，试证明△ACP是等腰三角形． ACPOBD 1 一切为了孩子

（2）填空： ①当DP=__________cm时，四边形AOBD是菱形； ②当DP=__________cm时，四边形AOBP是菱形． 答案：2.（1）连接OA，∵PA为⊙O的切线，∴OA⊥PA. „„„„„„„„„„1分 在Rt△AOP中，∠AOP=90－∠APO=90-30=60. ∴∠ACP=00001100∠AOP=×60=30. „„„„„„„„„„„„„„„4分 22 ∴∠ACP=∠APO, ∴AC=AP. ∴△ACP是等腰三角形. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 （2）①1；„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分 ②2-1. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分 3、[13年7题，3分]如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是() A.AG=BG B.AB∥EF C.AD∥BC D.∠ABC=∠ADC 答案：C 解析： 根据切线的性质，垂径定理即可作出判断． 解：A、∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G， ∴AG=BG，故正确； B、∵直线EF与⊙O相切于点D， ∴CD⊥EF， 又∵AB⊥CD， ∴AB∥EF，故正确； C、只有当弧AC=弧AD时，AD∥BC，当两个互不等时，则不平行，故选项错误； D、根据同弧所对的圆周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC．故选项正确． 故选C． 2 一切为了孩子

4、[12年8题，3分]如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，弧EC弧CB，则下列结论中不一定正确的是（ ） A．BA⊥DA B．OC∥AE C．∠COE=2∠CAE D．OD⊥AC DEAOCB 答案：D 解：∵AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A， ∴BA⊥DA，故A正确； ∵=， ∴∠EAC=∠CAB， ∵OA=OC， ∴∠CAB=∠ACO， ∴∠EAC=∠ACO， ∴OC∥AE，故B正确； ∵∠COE是所对的圆心角，∠CAE是所对的圆周角， ∴∠COE=2∠CAE，故C正确； 只有当故选D． 5、[12 年10题，3分]如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°．按以下步骤作图： ①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F； ②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G； =时OD⊥AC，故本选项错误． 123 一切为了孩子

③作射线AG交BC边于点D．则∠ADC的度数为 _____________． CFAEDGB 答案：65 6、[11年10题，3分]如图，CB切⊙O于点B，CA交⊙O于点D，且AB为⊙O的直径，点E是弧ABD上异于点A、D的一点.若∠C＝40°，则∠E的度数为________. 答案：40° 【知识点梳理】 要点一、圆的定义及性质 1. 圆的定义 (1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 要点诠释： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. (2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 要点诠释： ①定点为圆心，定长为半径； ②圆指的是圆周，而不是圆面； ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 4 一切为了孩子

2.圆的性质

①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；

②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴. 要点诠释：

①圆有无数条对称轴；

②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”. 3.两圆的性质

两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）. 要点二、与圆有关的概念 1. 弦

弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 要点诠释：

直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.

证明：连结OC、OD

∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) ∴直径AB是⊙O中最长的弦. 2. 弧

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作

，读作“圆弧AB”或“弧AB”.

5 一切为了孩子

半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 要点诠释：

①半圆是弧，而弧不一定是半圆； ②无特殊说明时，弧指的是劣弧. 3.同心圆与等圆

圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.

圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等. 4.等弧

在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 要点诠释：

①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； ②圆中两平行弦所夹的弧相等. 要点三、垂径定理 1.垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.推论

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

要点诠释：

(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即

(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 要点四、垂径定理的拓展

6 一切为了孩子

根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：

平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 要点诠释：

在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能 正文内容，五号，宋体，题目必须是文字格式，不可以用图片格式。答案可以是图片格式 要点五、弧、弦、圆心角的关系 1.圆心角定义

如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．

2.定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3.推论：

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．

要点诠释：

(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 要点六、圆周角 1.圆周角定义：

像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

7 一切为了孩子

2.圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3.圆周角定理的推论：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释：

(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 4.圆内接四边形：

（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．

（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）． 5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：

在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。 *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等。 要点七、切线的判定定理和性质定理 1．切线的判定定理：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 要点诠释： 切线的判定方法：

（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线； （2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；

（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）. 2．切线的性质定理：

圆的切线垂直于过切点的半径.

8 一切为了孩子

要点诠释： 切线的性质：

（1）切线和圆只有一个公共点； （2）切线和圆心的距离等于圆的半径； （3）切线垂直于过切点的半径；

（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点； （5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 要点八、切线长定理 1．切线长：

经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释：

切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：

切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 3．圆外切四边形的性质： 圆外切四边形的两组对边之和相等. 要点九、三角形的内切圆 1．三角形的内切圆：

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心：

三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 要点诠释：

(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；

(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一

半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).

(3) 三角形的外心与内心的区别：

9 一切为了孩子

名称 外心(三角形外接圆的圆心) 确定方法 三角形三边中垂线的交点 图形 性质 (1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部 内心(三角形内切圆的圆心) (3)内心在三角形内部. 三角形三条角平分线的交点 (1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分 ∠BAC、∠ABC、∠ACB； 一、2011--2015年河南中考考情一览表 年份 2015 题号 17 分值 9 题型 综合题 考点 与圆有关的性质 考查内容 圆周角定理及推论，切线的性质 2014 17 9 综合题 与圆有关的性质 圆周角定理及推论，切线的性质 2013 7 3 选择题 与圆有关的性质 圆周角定理及推论，切线的性质 2012 8 3 选择题 与圆有关的性质 圆周角定理及推论，切线的性质 2012 2011 考情总结： 10 10 3 3 填空题 填空题 与圆有关的性质 与圆有关的性质 尺规作图 圆周角定理及推论，切线的性质 分析近5年河南中考真题可以看出，圆的部分在河南中招考试中除2012年未系统考查外，其他4年均有涉及，且最多设置2道题，分值3/9分，201-2013均以小题（填空/选择）形式出现，而2014-2015年则以综合应用题得形式出现，且2016年一模考试中也出现了圆的综合应用题，主要考查圆周角定理及推论，切线的性质！ 预计2016年河南中招考试中圆的部分仍会以综合题的形式出现，仍以考查圆周角定理及切线的性质为主，会与四边形结合在一起，分值占比较大，需要考生引起注意。 10 一切为了孩子

【典型例题】 类型一、利用圆周角定理、切线的性质求角度 【例1】、[10年11题，3分]如图，AB切⊙O于点A，BO交⊙O于点C，点D是弧CMA上异于点C、A的一点，若∠ABO=32°，则∠ADC的度数是______________． 解：∵AB切⊙O于点A， ∴OA⊥AB， ∵∠ABO=32°， ∴∠AOB=90°-32°=58°， ∴∠ADC=∠AOB=×58°=29°． 解析：先根据切线的性质求出∠AOC的度数，再根据三角形内角和定理求出∠AOB的度数，由圆周角定理即可解答． 【对应练习】 11、[09年11题，3分]如图，AB为半圆O的直径，延长AB到点P，使BP=2AB，PC切半圆O于点C，点D是弧AC上和点C不重合的一点，则∠D的度数为 ． 解：连接OC， ∵PC切半圆O于点C， ∴OC⊥PC， ∴OC=OB=PB， ∴∠P=30°，即∠COP=60°， ∴∠D=30°． 11 一切为了孩子

2、如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD．若∠A=25°，则∠C= 40 度． 考点：切 线的性质；圆周角定理． 专题：计 算题． 分析：连 接OD，由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于CD，根据OA=OD，利用等边对等角得到∠A=∠ODA，求出∠ODA的度数，再由∠COD为△AOD外角，求出∠COD度数，即可确定出∠C的度数． 解答：解 ：连接OD， ∵CD与圆O相切， ∴OD⊥DC， ∵OA=OD， ∴∠A=∠ODA=25°， ∵∠COD为△AOD的外角， ∴∠COD=50°， ∴∠C=40°． 故答案为：40 点评：此 题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，以及外角性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，连接CD． （1）求证：∠A=∠BCD； （2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由． 12 一切为了孩子

考点： 分析： 切线的判定 （1）根据圆周角定理可得∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质可得∠A+∠DCA=90°，再由∠DCB+∠ACD=90°，可得∠DCB=∠A； （2）当MC=MD时，直线DM与⊙O相切，连接DO，根据等等边对等角可得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°，进而证得直线DM与⊙O相切． 解答： （1）证明：∵AC为直径， ∴∠ADC=90°， ∴∠A+∠DCA=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠DCB+∠ACD=90°， ∴∠DCB=∠A； （2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切； 解：连接DO， ∵DO=CO， ∴∠1=∠2， ∵DM=CM， ∴∠4=∠3， ∵∠2+∠4=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∴直线DM与⊙O相切． 13 一切为了孩子

点评： 此题主要考查了切线的判定，以及圆周角定理，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 4、已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长。 AEOBFCD【解答与分析】本题考点，主要是切线的判定，中位线的性质，以及特殊直角三角形的边角关系和勾股定理。 EAOFCD B 证明：（1）连接FO 易证OF∥AB ∵AC⊙O的直径 ∴CE⊥AE ∵OF∥AB ∴OF⊥CE ∴OF所在直线垂直平分CE ∴FC＝FE，OE＝OC ∴∠FEC＝∠FCE，∠0EC＝∠0CE 14 一切为了孩子

∵Rt△ABC ∴∠ACB＝90° 即：∠0CE＋∠FCE＝90° ∴∠0EC＋∠FEC＝90° 即：∠FEO＝90° ∴FE为⊙O的切线 （2） ∵⊙O的半径为3 B∴AO＝CO＝EO＝3 ∵∠EAC＝60°，OA＝OE ∴∠EOA＝60° ∴∠COD＝∠EOA＝60° ∵在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3 ∴CD＝33 ∵在Rt△ACD中，∠ACD＝90°， CD＝33，AC＝6 ∴AD＝37 类型二、圆周角、垂径定理 【例1】、如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（ ） FEOCDA A． 160° 考点：圆 周角定理；垂径定理． 分析： 利用垂径定理得出=，进而求出∠BOD=40°，再利用邻补角的性质得出答案． B． 150° C． 140° D． 120° 15 一切为了孩子

解答：解 ：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，

∴

=

，

∵∠CAB=20°， ∴∠BOD=40°， ∴∠AOD=140°． 故选：C．

点评：此 题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出∠BOD的度数是解题关键． 【对应练习】

1、如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=

，CE=1．则弧BD的长是（ ）

A．

考点：垂径定理；勾股定理；勾股定理的逆定理；弧长的计算．

分析：

连接OC，先根据勾股定理判断出△ACE的形状，再由垂径定理得出CE=DE，故

=

，

B．

C．

D．

由锐角三角函数的定义求出∠A的度数，故可得出∠BOC的度数，求出OC的长，再根据弧长公式即可得出结论． 解答：解：连接OC，

∵△ACE中，AC=2，AE=∴AE2+CE2=AC2，

∴△ACE是直角三角形，即AE⊥CD， ∵sinA=

=，

，CE=1，

∴∠A=30°， ∴∠COE=60°，

16 一切为了孩子

∴=sin∠COE，即=，解得OC=， ∵AE⊥CD， ∴=， ∴===． 故选B． 点评：本题考查的是垂径定理，涉及到直角三角形的性质、弧长公式等知识，难度适中． 2、如图，已知A，B，C在⊙O上，为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（ ） A． 2∠C 考点：圆 周角定理． 分析：根 据圆周角定理，可得∠AOB=2∠C． 解答：解 ：如图，由圆周角定理可得：∠AOB=2∠C． 故选A． 点评：此 题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 3、如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ） B． 4∠B C． 4∠A D． ∠B+∠C 17 一切为了孩子

A． 6 考点： 分析： B． 5 C． 4 D． 3 垂径定理；勾股定理 过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可． 解答： 解：过O作OC⊥AB于C， ∵OC过O， ∴AC=BC=AB=12， 在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC=故选：B． =5． 点评： 本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长． 4、如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，则AC的长为（ ） A． 1 考点： 分析： 圆周角定理；解直角三角形 由以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．易得∠ACD=∠B，又由cos∠ACD=，BC=4，即可求得答案． 解答： 解：∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， B． C． 3 D． 18 一切为了孩子

∴∠ACD+∠BCD=90°， ∵CD⊥AB， ∴∠BCD+∠B=90°， ∴∠B=∠ACD， ∵cos∠ACD=， ∴cos∠B=， ∴tan∠B=， ∵BC=4， ∴tan∠B=∴AC=． ==， 故选D． 点评： 此题考查了圆周角定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 5、如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（ ） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】B． 类型三、圆的综合题 【例1】、如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，且∠ABC=60°，AB=BC，△ACD的外接圆⊙O交BC于E点，连接DE并延长，交AC于P点，交AB延长线于F． （1）求证：CF=DB； （2）当AD=时，试求E点到CF的距离． 19 一切为了孩子

考点：圆的综合题 专题：综合题． 分析：（1） 连结AE，由∠ABC=60°，AB=BC可判断△ABC为等边三角形，由AB∥CD，∠DAB=90°得∠ADC=∠DAB=90°，则根据圆周角定理可得到AC为⊙O的直径，则∠AEC=90°，即AE⊥BC，根据等边三角形的性质得BE=CE，再证明△DCE≌△FBE，得到DE=FE，于是可判断四边形BDCF为平行四边形，根据平行四边形的性质得CF=DB； （2）作EH⊥CF于H，由△ABC为等边三角形得∠BAC=60°，则∠DAC=30°，在Rt△ADC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得DC=则AB=AC=2，BF=CD=1，AF=3，然后利用勾股定理计算出BD=EF=DF=AD=1，AC=2CD=2， ，DF=2，所以CF=BD=，，接着根据等边三角形的性质由AE⊥BC得∠CAE=∠BAE=30°，根据圆周角定理得∠EDC=∠CAE=30°，而∠DCA=∠BAC=60°，得到∠DPC=90°，在Rt△DPC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得PC=DC=， 再证明Rt△FHE∽Rt△FPC，利用相似比可计算出EH． 解答：（1）证明：连结AE，如图， ∵∠ABC=60°，AB=BC， ∴△ABC为等边三角形， ∵AB∥CD，∠DAB=90°， ∴∠ADC=∠DAB=90°， ∴AC为⊙O的直径， ∴∠AEC=90°，即AE⊥BC， ∴BE=CE， CD∥BF， ∴∠DCE=∠FBF， 20 一切为了孩子

在△DCE和△FBE中，

，

∴△DCE≌△FBE（ASA）， ∴DE=FE，

∴四边形BDCF为平行四边形， ∴CF=DB；

（2）解：作EH⊥CF于H，如图， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC=60°， ∴∠DAC=30°， 在Rt△ADC中，AD=

，

∴DC=AD=1，AC=2CD=2，

∴AB=AC=2，BF=CD=1， ∴AF=3， 在Rt△ABD中，BD=在Rt△ADF中，DF=∴CF=BD=

，EF=DF=

，

==2

， ，

∵AE⊥BC，

∴∠CAE=∠BAE=30°， ∴∠EDC=∠CAE=30°， 而∠DCA=∠BAC=60°， ∴∠DPC=90°，

在Rt△DPC中，DC=1，∠CDP=30°， ∴PC=DC=， ∵∠HFE=∠PFC，

21 一切为了孩子

∴Rt△FHE∽Rt△FPC， ∴=，即， =， ∴EH=即E点到CF的距离为． 点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、等边三角形的性质和平行四边形的判 定与性质；会运用三角形全等的知识解决线段相等的问题；会运用勾股定理和相似比进行几何计算． 【对应练习】 1、如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB32，点D为BA延长线上的一点，且∠D=∠ACB，⊙O为△ABC的外接圆. （1）求BC的长； （2）求⊙O的半径. 【答案】（1）33.（2）2. 【解析】 22 一切为了孩子

∴BC33. （2）由（1）得，在Rt△ACE中，∵∠EAC=30°，EC=3，∴AC=23. 3223ABACCBCD，即33CD. ∵∠D=∠ACB，∠B=∠B，∴△BAC∽△BCD. ∴ ∴DM=4. ∴⊙O的半径为2. 23 一切为了孩子

考点：1. 锐角三角函数定义；2.特殊角的三角函数值；3.相似三角形的判定和性质；4.圆周角定理；5.圆内接四边形的性质；6.含30度角直角三角形的性质；7.勾股定理 2、如图，直线l经过点A（4，0），B（0，3）． （1）求直线l的函数表达式； （2）若圆M的半径为2，圆心M在y轴上，当圆M与直线l相切时，求点M的坐标． yOx 考点：切线的性质；待定系数法求一次函数解析式．. 分析：（1）把点A（4，0），B（0，3）代入直线l的解析式y=kx+b，即可求出结果． （2）先画出示意图，在Rt△ABM中求出sin∠BAM，然后在Rt△AMC中，利用锐角三角函数的定义求出AM，继而可得点M的坐标． 解答：解：（1）∵直线l经过点A（4，0），B（0，3）， ∴设直线l的解析式为：y=kx+b， ∴ ∴． ∴直线l的解析式为：y=﹣x+3； （2）∵直线l经过点A（4，0），B（0，3）， 24 一切为了孩子

∴OA=4，OB=3， ∴AB=5，

①如图所示，此时⊙M与此直线l相切，切点为C， 连接MC，则MC⊥AB， 在Rt△ABM中，sin∠BAM=在Rt△AMC中，∵sin∠MAC=

=， ，

∴AM===4，

∴点M的坐标为（0，0）．

②此时⊙M'与此直线l相切，切点为C'， 连接M'C'，则M'C'⊥AB， ∴∠M′C′B=∠MCB=90°， 在△M′C′B与△CMB中，

，

∴BM'=BM=3，

∴点M'的坐标为（0，6）．

综上可得：当⊙M与此直线l相切时点M的坐标是（0，0），（0，6）．

点评：本题考查了用待定系数法求函数的解析式，切线的性质，解答本题的关键是画出示意图，熟练掌握切线的性质及锐角三角函数的定义，难度一般．

【课后作业】

25 一切为了孩子

1、如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E．则下列结论一定错误的是（ ） A．CE=DE B．AE=OE C．BCBD D．△OCE≌△ODE



【答案】B． 【解析】

试题分析：∵⊙O的直径AB⊥弦CD，∴CE=DE，BCBD，在Rt△CEO和Rt△DEO中，∵CO=DO，OE=OE，∴△OCE≌△ODE，只有AE=OE不能判定，故选B． 考点：垂径定理．

考

点：1．垂径定理；2．勾股定理．

2、如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（ ）

A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5 【答案】A．

26 一切为了孩子

考点：1．直线与圆的位置关系；2．勾股定理；3．垂径定理． 3、如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，则∠ABC的大小为 度． 【答案】30． 考点：1．垂径定理；2．含30度角的直角三角形；3．圆周角定理． 4、如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且线于点D，垂足为D． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CD=2，求⊙O的半径． ==，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长 考点： 切线的判定． 27 一切为了孩子

专题： 证明题． 分析： （1）连结OC，由=，根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，则∠FAC=∠OCA，可判断OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线； （2）连结BC，由AB为直径得∠ACB=90°，由==得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=4，在Rt△ACB中，利用含30度的直角三角形三边的关系得BC=AC=4，AB=2BC=4，所以⊙O的半径为4． 解答： （1）证明：连结OC，如图， ∵=， ∴∠FAC=∠BAC， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠FAC=∠OCA， ∴OC∥AF， ∵CD⊥AF， ∴OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：连结BC，如图， ∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∵==， ∴∠BOC=×180°=60°， ∴∠BAC=30°， ∴∠DAC=30°， 在Rt△ADC中，CD=2∴AC=2CD=4， ， 28 一切为了孩子

在Rt△ACB中，BC=∴AB=2BC=4， ∴⊙O的半径为4． AC=×4=4， 点评： 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系． 5、如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（ ） A． 30° 考点： 圆周角定理． 专题： 计算题． 分析： 先根据圆周角定理得到∠ABC=∠AOC，由于∠ABC+∠AOC=90°，所以∠AOC+∠AOC=90°，然后解方程即可． 解答： 解：∵∠ABC=∠AOC， 而∠ABC+∠AOC=90°， ∴∠AOC+∠AOC=90°， ∴∠AOC=60°． 故选C． 点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 6、如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（ ） B． 45° C． 60° D． 70° 29 一切为了孩子

A．∠ACD=∠DAB B． AD=DE C． AD2=BD•CD D． AD•AB=AC•BD 考点： 相似三角形的判定；圆周角定理．

分析： 由∠ADC=∠ADB，根据有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用． 解答： 解：如图，∠ADC=∠ADB， A、∵∠ACD=∠DAB，

∴△ADC∽△BDA，故本选项正确； B、∵AD=DE， ∴

=

，

∴∠DAE=∠B，

∴△ADC∽△BDA，故本选项正确； C、∵AD2=BD•CD， ∴AD：BD=CD：AD，

∴△ADC∽△BDA，故本选项正确； D、∵AD•AB=AC•BD， ∴AD：BD=AC：AB，

但∠ADC=∠ADB不是公共角，故本选项错误． 故选D．

点评： 此题考查了相似三角形的判定以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 7、如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA=50°，则∠C的度数为（ ）

A． 30°

B． 40°

C． 50°

D． 80°

考点： 圆周角定理．.

30 一切为了孩子

分析： 根据三角形的内角和定理求得∠AOB的度数，再进一步根据圆周角定理求解． 解答： 解：∵OA=OB，∠OBA=50°， ∴∠OAB=∠OBA=50°， ∴∠AOB=180°﹣50°×2=80°， ∴∠C=∠AOB=40°． 故选：B． 点评： 此题综合运用了三角形的内角和定理以及圆周角定理．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 8、如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD．已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的弦心距等于（ ） A． 考点：圆 周角定理；勾股定理；旋转的性质．. 专题：计 算题． 分析：作 AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，再证明△ADE≌△ABF，得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH， 易得AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=BF=3． 解答：解 ：作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，如图， ∵∠BAC+∠EAD=180°， 而∠BAC+∠BAF=180°， ∴∠DAE=∠BAF， 在△ADE和△ABF中 B． C． 4 D． 3 ， 31 一切为了孩子

∴△ADE≌△ABF， ∴DE=BF=6， ∵AH⊥BC， ∴CH=BH， 而CA=AF， ∴AH为△CBF的中位线， ∴AH=BF=3． 故选D． 点评：本 题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质． 9、如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（ ） A． B． 1 C． 2 D． 2 考点： 轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理．. 分析： 作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，根据轴对称确定最短路线问题可得AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠AON=60°，然后求出∠BON=30°，再根据对称性可得∠B′ON=∠BON=30°，然后求出∠AOB′=90°，从而判断出△AOB′是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AB′=解答： 解：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′， 则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB′， OA，即为PA+PB的最小值． 32 一切为了孩子

∵∠AMN=30°，

∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°， ∵点B为劣弧AN的中点， ∴∠BON=∠AON=×60°=30°， 由对称性，∠B′ON=∠BON=30°，

∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°， ∴△AOB′是等腰直角三角形， ∴AB′=

OA=

×1=

， ．

即PA+PB的最小值=故选A．

点评： 本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到△AOB′是等腰直角三角形是解题的关键．

10、在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（ ）

A． 40cm

考点： 垂径定理的应用；勾股定理．.

分析： 连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，由垂径定理求出AM的长，再根据勾股定理求出OM的长，进而可得出ME的长．

解答： 解：连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，

B． 60cm

C． 80cm

D． 100cm

33 一切为了孩子

∵直径为200cm，AB=160cm， ∴OA=OE=100cm，AM=80cm， ∴OM===60cm， ∴ME=OE﹣OM=100﹣60=40cm． 故选A． 点评： 本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 11、如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（ ） A． 4 解答：解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图， ∵⊙P的圆心坐标是（3，a）， ∴OC=3，PC=a， 把x=3代入y=x得y=3， ∴D点坐标为（3，3）， ∴CD=3， ∴△OCD为等腰直角三角形， ∴△PED也为等腰直角三角形， ∵PE⊥AB， B． C． D． 34 一切为了孩子

∴AE=BE=AB=×4=2， 在Rt△PBE中，PB=3， ∴PE=∴PD=∴a=3+故选B． PE=． ， ， 点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查 了勾股定理和等腰直角三角形的性质． 12、已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． （1）求证：AC=BD； （2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长． 考点： 垂径定理；勾股定理． 分析： （1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD； （2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC=AE﹣CE即可得出结论． 解答： （1）证明：作OE⊥AB， ∵AE=BE，CE=DE， ∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD； 35 一切为了孩子

（2）∵由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，∴OE=6， ∴CE=∴AC=AE﹣CE=8﹣2=． =2，AE===8， 点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 13、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3． （1）求证：△ADF∽△AED； （2）求FG的长； （3）求证：tan∠E=． =1，连接AF并延长交⊙O于点3 考点：相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形． 分析：①由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：弧AD=弧AC，DG=CG，继而证 得△ADF∽△AED； ②由=，CF=2，可求得DF的长，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2； ． ③由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠E=解答：解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴DG=CG， ∴弧AD=弧AC，∠ADF=∠AED， ∵∠FAD=∠DAE（公共角）， ∴△ADF∽△AED； ②∵=，CF=2， ∴FD=6， 36 一切为了孩子

∴CD=DF+CF=8， ∴CG=DG=4， ∴FG=CG﹣CF=2； ③∵AF=3，FG=2， ③∵AF=3，FG=2，∴AG=tan∠E=

．

，

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函

数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 14、如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是AB弧的中点． （1）求证：AB平分∠OAC；

（2）延长OA至P使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长．

第9题图

考点： 菱形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理． 分析： （1）求出等边三角形AOC和等边三角形OBC，推出OA=OB=BC=AC，即可得出答案； （2）求出AC=OA=AP，求出∠PCO=90°，∠P=30°，即可求出答案． 解答： （1）证明：连接OC， ∵∠AOB=120°，C是AB弧的中点， ∴∠AOC=∠BOC=60°， ∵OA=OC，

37 一切为了孩子

∴△ACO是等边三角形， ∴OA=AC，同理OB=BC， ∴OA=AC=BC=OB， ∴四边形AOBC是菱形， ∴AB平分∠OAC；

（2）解：连接OC，

∵C为弧AB中点，∠AOB=120°， ∴∠AOC=60°， ∵OA=OC，

∴OAC是等边三角形， ∵OA=AC， ∴AP=AC， ∴∠APC=30°， ∴△OPC是直角三角形， ∴

．

点评： 本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理，等边三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目比较典型，难度适中．

38 一切为了孩子