构造函数证明不等式的八种方法

一、移项法构造函数

1ln(x1)x1x

例：1、已知函数f(x)ln(x1)x，求证：当x1时，但有

11f(x)aexx22 （1）若f(x)在R上为增函数，求a的取值范围。 2、已知函数

（2）若a=1，求证：x0时，f(x)1x

二、作差法构造函数证明

12xlnx2，求证：在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数

例：1、已知函数

g(x)f(x)23x3的图象下方。

思想：抓住常规基本函数，利用函数草图分析问题

2、已知函数f(x)nlnx的图象在点P(m,f(x))处的切线方程为y=x，设

g(x)mxn2lnxx，（1）求证：当x1时，g(x)0恒成立；（2）试讨论关于x的方程

3、

4、根的个数。

mxng(x)x32ex2txx

- 1 -

5、换元法构造函数证明

111ln(1)23nn，都成立。 例：1、证明：对任意的正整数n，不等式n111ln(1)23nn都成立。 2、证明：对任意的正整n，不等式n3、已知函数

f(x)ln(ax1)x3x2ax

2，（1）若3为yf(x)的极值点，求实数a的值；（2）若yf(x)在[1,)上增函数，求

实数a的取值范围。（3）若a=-1时，方程围。

f(1x)(1x)3bx有实根，求实数b的取值范

4、从条件特征入手构造函数证明

'xfyf(x)例1 若函数在R上可导且满足不等式(x)f(x)恒成立，且常数a,b满足

ab，求证：af(a)bf(b)

5、主元法构造函数

例1.已知函数f(x)ln(1x)x，g(x)xlnx，（1）求函数f(x)的最大值；（2）设0ab，证明：

- 2 -

0g(a)g(b)2g(ab)(ba)ln22

6、构造二阶导数函数证明导数的单调性

1f(x)aexx22，例1：已知函数（1）若f(x)在R上为增函数，求a的取值范围；

（2）若a=1，求证：x0时，f(x)1x

7、对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）

1xx2例1：证明当x0时，(1x)1e1

8、构造形似函数

ba例1：证明当bae，证明ab

nm(1m)(1n)m、n1mn2、已知都是正整数，且，证明：

思维挑战

1、设a0，

2f(x)x1lnx2alnx 2、

23、，求证：当x1时，恒有xlnx2alnx1

- 3 -

4、已知定义在正实数数集上的函数

b52a3a2lna2，求证：f(x)g(x)

f(x)12x2ax2g(x)3alnxb，其中a0，且2，

5、已知函数

f(x)ln(1x)xblnalnb11x，求证：对任意的正数a、b恒有a

'xff(x)(0,)4、是定义在上的非负可导数，且满足(x)f(x)0，对任意正数a、b，若

ab，则必有（ ）

A.af(x)bf(a) B.bf(a)af(b) C.af(a)f(b) D.bf(b)f(a)

- 4 -