思维特训(十五) 以数轴为载体的方程问题
方法点津 ·
1．如图15－S－1，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，则A，B两点之间的距离可以表示为AB＝|a－b|，或用右边的数减去左边的数为AB＝b－a.
图15－S－1
2．通常利用数轴上距离(路程)之间的数量关系，列出一元一次方程，解决相遇与追及问题．相遇问题的基本相等关系是“两点初始距离等于两点所走的路程和”；追及问题的基本相等关系是“两点的路程差等于两点的初始距离”．
典题精练 · 类型一 相遇问题
1．如图15－S－2，已知数轴上有A，B，C三点，分别表示有理数－26，－10，10，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设点P移动的时间为t秒．
(1)用含t的式子表示点P对应的数：________；用含t的式子表示点P和点C的距离：PC＝________． (2)当点P运动到点B时，点Q从点A出发，以每秒3个单位的速度向点C运动，点Q到达点C后，再立即以同样的速度返回点A，探究点P，Q同时运动的过程中能否相遇，若相遇，请求出相遇时t的值．
图15－S－2
2．已知数轴上有A，B，C三点，分别表示－12，－5，5，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时出发，甲的速度是每秒2个单位，乙的速度是每秒3个单位．
(1)若甲、乙相向而行，则甲、乙在数轴上的哪个点相遇？
(2)若甲、乙相向而行，则多少秒后甲到A，B，C三点的距离之和为20个单位？
(3)在(2)的条件下，当甲到A，B，C三点的距离之和为20个单位时，甲调头返回，则甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由．
3．甲、乙两辆汽车在一条公路上匀速行驶，为了确定汽车的位置，我们用数轴表示这条公路，并规定向右为正方向，原点O为0 km路标，并作如下约定：位置为正，表示汽车位于0 km右侧；位置为负，表示汽车位于0 km左侧，位置为0，表示汽车位于0 km处．
(1)根据题意，填写下列表格：
时间(h) 甲车位置(km) 乙车位置(km) 0 150 3 －30 70 5 150 x (2)甲、乙两车能否相遇？如能相遇，求出相遇时间及相遇时的位置；如不能相遇，请说明理由．
(3)甲、乙两车能否相距120 km？若能，求出两车相距120 km时的时间；若不能，请说明理由．
4．数学问题：如图15－S－3，在数轴上点A表示的数为－20，点B表示的数为40，动点P从点A出发以每秒5个单位的速度沿正方向运动，动点Q从原点出发以每秒4个单位的速度沿正方向运动，动点N从点B出发以每秒8个单位的速度先沿负方向运动，到达原点后立即按原速返回，三点同时出发，当点N回到点B时，三点停止运动．
图15－S－3
(1)三个动点运动t(0＜t＜5)秒时，P，Q，N三点在数轴上所表示的数分别为________，________，________． (2)当QN＝10个单位时，求此时点P在数轴上所表示的数．
(3)尝试借助上面数学问题的解题经验，建立数轴完成下面的实际问题：
码头C位于A，B两码头之间，且知AC＝20海里，AB＝60海里，甲船从A码头顺流驶向B码头，乙船从C码头顺流驶向B码头，丙船从B码头开往C码头后立即调头返回B码头．已知甲船在静水中的航速为5海里/时，乙船在静水中的航速为4海里/时，丙船在静水中的航速为8海里/时，水流速度为2海里/时，三船同时出发，每艘船都行驶到B码头停止．
在整个运动过程中，是否存在某一时刻，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等？若存在，请求出此时甲船离B码头的距离；若不存在，请说明理由．
类型二 追及问题
5．动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，3秒后，两点相距15个单位．已知动点A，B的速度比是1∶4.(速度单位：单位/秒)
(1)求出两个动点运动的速度，并在如图15－S－4所示的数轴上标出A，B两点从原点出发运动3秒时的位置； (2)若A，B两点从(1)中的位置同时向数轴负方向运动，则几秒后原点恰好处在两个动点正中间？
(3)在(2)中A，B两点继续同时向数轴负方向运动时，另一动点C同时从B点位置出发向A点运动，当遇到A后，立即返回向B点运动，遇到B点后立即返回向A点运动，如此往返，直到B追上A时，点C立即停止运动．若点C一直以20单位/秒的速度匀速运动，则点C从开始到停止运动，运动的路程是多少单位？
图15－S－4
详解详析
1．解：(1)－26＋t 36－t
(2)①点Q返回前相遇：3(t－16)＝t， 解得t＝24；
②点Q返回后相遇：3(t－16)＋t＝36×2. 解得t＝30.
综上所述，点P，Q同时运动的过程中能相遇，相遇时t的值是24或30. 2．解：(1)设甲、乙行驶x秒时相遇．
根据题意，得2x＋3x＝17，解得x＝3.4，2×3.4＝6.8， －12＋6.8＝－5.2.
答：甲、乙在数轴上表示－5.2的点处相遇．
(2)设y秒后甲到A，B，C三点的距离之和为20个单位，
点B距A，C两点的距离之和为7＋10＝17＜20，点A距B，C两点的距离之和为7＋17＝24＞20，点C距A，B两点的距离之和为17＋10＝27＞20，故甲应位于A，B或B，C之间．
①当甲位于A，B之间时，得2y＋(7－2y)＋(7－2y＋10)＝20，解得y＝2； ②当甲位于B，C之间时，得2y＋(2y－7)＋(17－2y)＝20，解得y＝5.
答：若甲、乙相向而行，2秒或5秒后甲到A，B，C三点的距离之和为20个单位．
(3)能．①甲从点A向右运动2秒时返回，设a秒后与乙相遇．此时甲、乙在数轴上对应同一点，所表示的数相同．
甲表示的数为－12＋2×2－2a；乙表示的数为5－3×2－3a， 依据题意，得－12＋2×2－2a＝5－3×2－3a， 解得a＝7，
相遇点表示的数为－12＋2×2－2a＝－22；
②甲从点A向右运动5秒时返回，设b秒后与乙相遇．
此时甲表示的数为－12＋2×5－2b；乙表示的数为5－3×5－3b，
依据题意，得－12＋2×5－2b＝5－3×5－3b， 解得b＝－8(不合题意，舍去)．
即甲从点A向右运动2秒时返回，能在数轴上与乙相遇，相遇点表示的数为－22. 3．解：(1)填表如下：
时间(h) 甲车位置(km) 乙车位置(km) 0 150 －50 3 －30 70 5 －150 150 x 150－60x －50＋40x (2)能相遇．由题意，得150－60x＝－50＋40x， 解得x＝2，150－60×2＝30.
答：相遇时间为2 h，且位于0 km路标右侧30 km处． (3)能．①150－60x＋120＝－50＋40x，解得x＝3.2； ②150－60x－120＝－50＋40x，解得x＝0.8. 答：两车相距120 km时的时间为0.8 h或3.2 h. 4．解：(1)－20＋5t 4t 40－8t
10
(2)点Q，N相遇的时间为秒，点Q到点B的时间为10秒，点N到点O的时间为5秒，点N从出发到返回到
3点B的时间为10秒．
点N到点O前，点P所表示的数为－20＋5t；点Q所表示的数为4t；点N所表示的数为40－8t. ①点Q，N相遇前，如图(a)：40－8t－4t＝10，解得t＝2.5，
此时点P所表示的数为－20＋5×2.5＝－7.5；
25
②点Q，N相遇后，点N到达点O前，如图(b)，4t－(40－8t)＝10，解得t＝，
6
255
此时点P所表示的数为－20＋5×＝；
66③点Q，N相遇后，点N到达点O后，如图(c)，
点P所表示的数为－20＋5t；点Q所表示的数为4t；点N所表示的数为8(t－5)， 4t－8(t－5)＝10，解得t＝7.5，
此时点P所表示的数为－20＋5×7.5＝17.5.
(3)存在．由数学问题的解题经验可建立如图(d)所示的数轴，点A所表示的数为－20，点C所表示的数为0，点B所表示的数为40.甲从点A出发以每秒7个单位的速度向点B运动，乙从点C出发以每秒6个单位的速度向点B运动，丙从点B出发以每秒6个单位的速度向点C运动，到达点C后立即以每秒10个单位速度返回，甲、乙、丙2060
同时出发，当甲、乙、丙都运动到点B时，运动停止．甲到C的时间为秒，甲到B的时间为秒，乙到B的时间
77为
2020326010
秒，丙到C的时间为秒，丙从出发到返回到B的时间为秒，甲遇丙的时间为秒，乙遇丙的时间为秒，333133
140
甲追上乙的时间为20秒(舍)，丙追上甲的时间为秒(舍)．丙到达C前，甲所表示的数为－20＋7t；乙所表示的数
9为6t；丙所表示的数为40－6t.
①乙、丙相遇前：6t－(－20＋7t)＝40－6t－6t，解得t＝(海里)；
②甲、丙相遇前：40－6t－(－20＋7t)＝6t－(40－6t)，解得t＝4，所以甲船离B码头的距离为40－(－20＋7×4)＝32(海里)；
40
③甲、丙相遇后，丙到达C前：6t－(－20＋7t)＝－20＋7t－(40－6t)，解得t＝，所以甲船离B码头的距离为
740
40－(－20＋7×)＝20(海里)；
7
20
④甲、丙相遇后，丙到达C后：甲所表示的数为－20＋7t；乙所表示的数为6t；丙所表示的数为10(t－).6t－(－
3204032
20＋7t)＝－20＋7t－10(t－)，解得t＝＞(舍)．
333
2020520
，所以甲船离B码头的距离为40－(－20＋7×)＝111111
2040
综上所述，在整个运动过程中，分别在小时、4小时、小时时，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且
117520
与两船的距离相等，此时甲船离B码头的距离分别为海里、32海里、20海里．
11
5．解：(1)设点A的运动速度为x单位/秒，则点B的运动速度为4x单位/秒． 由题意得3x＋3×4x＝15， 解得x＝1.
所以点A的运动速度是1单位/秒，点B的运动速度是4单位/秒； A，B两点所在位置如图：
(2)设y秒后，原点恰好处在A，B两点的正中间． 9
由题意得y＋3＝12－4y，解得y＝. 5
9
答：经过秒后，原点恰好处在A，B两点的正中间．
5(3)设B追上A需z秒，则
916
4×z－1×z＝2×(＋3)，解得z＝，
5516
20×＝64.
5
答：C点运动的路程是64单位．
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