一、选择题（共7小题，每小题3分，满分21分） 1．（2010•厦门）下列几个数中，属于无理数的是（ ）
2．（2010•厦门）计算a•a的结果是（ ）
568
A．5a B．a C．a D．a 3．（2010•厦门）下列四个几何体中，俯视图是圆的几何体共有（ ）
2
3
A． B．2 C．0 D．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2010•厦门）在一次数学单元考试中，某小组7名同学的成绩（单位：分）分别是：65，80，70，90，95，100，70．这组数据的中位数是（ ） A．90 B．85 C．80 D．70
5．（2010•厦门）不等式组
的解集为（ ）
A．x＞﹣1 B．x＜2 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1或x＞2 6．（2010•厦门）已知两圆的半径分别为2厘米和4厘米，圆心距为3厘米，则这两圆的位置关系是（ ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 7．（2010•厦门）如图，正方形ABCD的边长为2，动点P从C出发，在正方形的边上沿着C⇒B⇒A的方向运动（点P与A不重合）．设P的运动路程为x，则下列图象中△ADP的面积y关于x的函数关系（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分） 8．（2010•厦门）2的相反数是 _________ ． 9．（2010•厦门）已知点C是线段AB的中点，AB=2，则BC= _________ ．
10．（2010•厦门）截至今年6月1日，上海世博会累计入园人数超过8 000 000．将8 000 000用科学记数法表示为 _________ ． 11．（2010•密云县）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE=2cm，则BC= _________ cm．
12．（2010•厦门）一只口袋中装有一个红球和2个白球，这些球除了颜色之外没有其它区别，若小红闭上眼睛从袋中随机摸出一个球，则摸出的球是红球的概率为 _________ ． 13．（2010•厦门）⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离为3，则弦AB的长是 _________ ．
14．（2010•厦门）已知反比例函数反比例函数关系式： _________ ．
15．（2010•厦门）已知关于x的方程x﹣4x﹣p+2p+2=0的一个根为p，则p= _________ ． 16．（2010•厦门）如图，以第①个等腰直角三角形的斜边长作为第②个等腰直角三角形的腰，以第②个等腰直角三角形的斜边长做为第③个等腰直角三角形的腰，依次类推，若第⑨个等腰直角三角形的斜边长为厘米，则第①个等腰直角三角形的斜边长为 _________ 厘米．
2
2
，其图象所在的每个象限内y随着x的增大而减小，请写出一个符合条件的
17．（2010•厦门）如图，将矩形纸片ABCD（AD＞DC）的一角沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为E，折痕交AB边交于点F．若BE=1，EC=2，则sin∠EDC= _________ ；若BE：EC=m：n，则AF：FB= _________ （用含有m、n的代数式表示）．
三、解答题（共9小题，满分89分） 18．（2010•厦门）（1）计算：
（2）计算：[（x+3）+（x+3）（x﹣3）]÷2x； （3）解分式方程：
．
2
；
19．（2010•厦门）如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地面控制点B的俯角α=20°（B、C在同一水平线上），求目标C到控制点B的距离（精确到1米）．
（参考数据sin20°=0.34，cos20°=0.94，tan20°=0.36）
20．（2010•厦门）小明学完了统计知识后，从“中国环境保护网”上查询到他所居住城市2009年全年的空气质量级别资料，用简单随机抽样的方法选取30天，并列出下表： 空气质量级别 天数 优 a 良 15 轻度污染 2 中度污染 1 重度污染 0 请你根据以上信息解答下面问题：
（1）这次抽样中“空气质量不低于良”的频率为 _________ ；
（2）根据这次抽样的结果，请你估计2009年全年（共365天）空气质量为优的天数是多少？ 21．（2010•厦门）某市为更有效地利用水资源，制定了居民用水收费标准：如果一户每月用水量不超过15立方米，每立方米按1.8元收费；如果超过15立方米，超过部分按每立方米2.3元收费，其余仍按每立方米1.8元计算．另外，每立方米加收污水处理费1元．若某户一月份共支付水费58.5元，求该户一月份用水量？ 22．（2010•厦门）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF． （1）求证：四边形EFCD是平行四边形； （2）若BF=EF，求证：AE=AD．
23．（2010•厦门）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点、已知等腰梯形OABC，OA∥BC，点A（4，0），BC=2，等腰梯形OABC的高是1，且点B、C都在第一象限．
（1）请画出一个平面直角坐标系，并在此坐标系中画出等腰梯形OABC； （2）直线范围．
24．（2010•厦门）设△A1B1C1的面积是S1，△A2B2C2的面积为S2（S1＜S2），当△A1B1C1∽△A2B2C2，且
时，则称△A1B1C1与△A2B2C2有一定的“全等度”．如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，∠B=30°，
∠BCD=60°，连接AC．
（1）若AD=DC，求证：△DAC与△ABC有一定的“全等度”；
（2）你认为：△DAC与△ABC有一定的“全等度”正确吗？若正确，说明理由；若不正确，请举出一个反例说
与线段AB交于点P（p，q），点M（m，n）在直线
上，当n＞q时，求m的取值
明．
25．（2010•厦门）如图，矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F，（1）求
的长；
（2）若，直线MN分别交射线DA、DC于点M、N，∠DMN=60°，将直线MN沿射线DA方向平移，设点D到直线的距离为d，当时1≤d≤4，请判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由．
26．（2010•厦门）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点P（m，﹣1）（m＞0）．连接OP，将线段OP绕点O按逆时针方向旋转90°得到线段OM，且点M是抛物线y=ax+bx+c的顶点．
2
（1）若m=1，抛物线y=ax+bx+c经过点（2，2），当0≤x≤1时，求y的取值范围；
22
（2）已知点A（1，0），若抛物线y=ax+bx+c与y轴交于点B，直线AB与抛物线y=ax+bx+c有且只有一个交点，请判断△BOM的形状，并说明理由．
2
2010年福建省厦门市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共7小题，每小题3分，满分21分） 1．（2010•厦门）下列几个数中，属于无理数的是（ ）
A．
B．2
C．0
D．
考点：无理数。 专题：应用题。
分析：由于无理数是开不尽方的数，或者无限不循环小数为无理数，由此即可判定选择项． 解答：解：2，0，是有理数；
开方开不尽故是无理数． 故选A．
点评：此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，或者无限不循环小数为无理数．如π，，0.…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．（2010•厦门）计算a•a的结果是（ ）
568
A．5a B．a C．a D．a 考点：同底数幂的乘法。 专题：计算题。
mnm+n
分析：根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a•a=a．
235
解答：解：a•a=a． 故选B．
点评：本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 3．（2010•厦门）下列四个几何体中，俯视图是圆的几何体共有（ ）
2
3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点：简单几何体的三视图。
分析：根据俯视图是从上面看所得到的图形判断即可．
解答：解：从上面看，长方体的俯视图为长方形；圆柱的俯视图为圆；球的俯视图是圆；三棱柱的俯视图是三角形；俯视图是圆的几何体共有2个，故选B．
点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 4．（2010•厦门）在一次数学单元考试中，某小组7名同学的成绩（单位：分）分别是：65，80，70，90，95，100，70．这组数据的中位数是（ ） A．90 B．85 C．80 D．70 考点：中位数。
分析：本题考查统计的有关知识，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
解答：解：将这组数据按从小到大的顺序排列为：65，70，70，80，90，95，100，处于中间位置的那个数是80，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是80．
故选C．
点评：本题为统计题，考查中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
5．（2010•厦门）不等式组
的解集为（ ）
A．x＞﹣1 B．x＜2 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1或x＞2 考点：解一元一次不等式组。
分析：先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可． 解答：解：
由①得：x＜2；由②得：x＞﹣1．根据“小大大小中间找”的原则可知不等式组的解集为﹣1＜x＜2． 故选C．
点评：求不等式组的解集应遵循“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则． 6．（2010•厦门）已知两圆的半径分别为2厘米和4厘米，圆心距为3厘米，则这两圆的位置关系是（ ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 考点：圆与圆的位置关系。
分析：本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案． 外离，则P＞R+r；外切，则P=R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P=R﹣r；内含，则P＜R﹣r． （P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
解答：解：∵两圆的半径分别为2厘米和4厘米，圆心距为3厘米， 4﹣2＜3＜4+2，
∴两圆的位置关系是相交． 故选A．
点评：本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法． 7．（2010•厦门）如图，正方形ABCD的边长为2，动点P从C出发，在正方形的边上沿着C⇒B⇒A的方向运动（点P与A不重合）．设P的运动路程为x，则下列图象中△ADP的面积y关于x的函数关系（ ）
A． B． C． D． 考点：动点问题的函数图象。 专题：几何动点问题。
分析：△ADP的面积可分为两部分讨论，由C运动到B时，面积不变；由B运动到A时，面积逐渐减小，因此对应的函数应为分段函数．
解答：解：当P点由C运动到B点时，即0≤x≤2时，y==2
=4﹣x
当P点由B运动到A点时（点P与A不重合），即2＜x＜4时，y=
∴y关于x的函数关系
注：图象不包含x=4这个点． 故选C．
点评：本题考查了动点函数图象问题，在图象中应注意自变量的取值范围．
二、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分） 8．（2010•厦门）2的相反数是 ﹣2 ． 考点：相反数。
分析：根据相反数的定义可知． 解答：解：﹣2的相反数是2．
点评：主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数．0的相反数是其本身． 9．（2010•厦门）已知点C是线段AB的中点，AB=2，则BC= 1 ． 考点：比较线段的长短。 专题：计算题。
分析：根据中点把线段分成两条相等的线段解答． 解答：解：根据题意，BC=AB=1．
点评：本题根据线段的中点的定义求解． 10．（2010•厦门）截至今年6月1日，上海世博会累计入园人数超过8 000 000．将8 000 000用科学记数法表示为 6
8×10 ．
考点：科学记数法—表示较大的数。 专题：应用题。
分析：科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
6
解答：解：8 000 000=8×10．
n
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 11．（2010•密云县）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE=2cm，则BC= 4 cm．
n
考点：三角形中位线定理。
分析：根据三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，有DE=BC，从而求出BC． 解答：解：∵D、E分别是AB、AC的中点． ∴DE是△ABC的中位线， ∴BC=2DE，
∵DE=2cm，
∴BC=2×2=4cm． 故答案为4．
点评：本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用． 12．（2010•厦门）一只口袋中装有一个红球和2个白球，这些球除了颜色之外没有其它区别，若小红闭上眼睛从袋中随机摸出一个球，则摸出的球是红球的概率为
．
考点：概率公式。
分析：让红球的个数除以球的总个数即为所求的概率． 解答：解：因为袋中共有2+1=3个球， 摸出的球是红球的概率为．
点评：此题考查了概率的定义：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
13．（2010•厦门）⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离为3，则弦AB的长是 8 ． 考点：垂径定理；勾股定理。
分析：先求出半径，再利用勾股定理求出半弦长，弦长就可以求出了． 解答：解：如图，根据题意，得 OA=×10=5，AE=∴AB=2AE=8．
=
=4
点评：利用半径、半弦长、弦心距构造直角三角形，利用勾股定理求解．
14．（2010•厦门）已知反比例函数
，其图象所在的每个象限内y随着x的增大而减小，请写出一个符合条件的
反比例函数关系式： y=（答案不唯一，k＞0即可） ．
考点：反比例函数的性质。 专题：开放型。
分析：先根据反比例函数图象的性质确定k的正负情况，然后写出即可． 解答：解：∵在每个象限内y随着x的增大而减小， ∴k＞0．
例如：y=（答案不唯一，只要k＞0即可）．
点评：本题是开放性题目，主要考查反比例函数图象的性质，答案只要符合要求即可．
15．（2010•厦门）已知关于x的方程x﹣4x﹣p+2p+2=0的一个根为p，则p= 1 ． 考点：一元二次方程的解。 专题：计算题。
2222
分析：由题意知关于x的方程x﹣4x﹣p+2p+2=0的一个根为p，把p代入方程x﹣4x﹣p+2p+2=0即可求解．
22
解答：解：把p代入方程x﹣4x﹣p+2p+2=0，得 22
p﹣4p﹣p+2p+2=0 整理得p=1．
点评：本题考查一元二次方程的定义，把一元二次方程的根代入方程来求解，比较简单． 16．（2010•厦门）如图，以第①个等腰直角三角形的斜边长作为第②个等腰直角三角形的腰，以第②个等腰直角三角形的斜边长做为第③个等腰直角三角形的腰，依次类推，若第⑨个等腰直角三角形的斜边长为厘米，则第①个等腰直角三角形的斜边长为 厘米．
22
考点：等腰直角三角形；勾股定理。 专题：规律型。
分析：先设第①个等腰直角三角形的斜边是x，第②个的等腰直角三角形的斜边是x，那么第③个等腰直角三
n﹣19﹣1
角形的斜边是2x，从而有第n个等腰直角三角形的斜边是（）x，根据题意可得（）x=16，解即可．
9﹣1
解答：解：设第①个等腰直角三角形斜边长是x，根据题意得：（）x=16， ∴16x=16， ∴x=．
点评：此题关键是找出规律，然后才可以得出关于x的方程，解出x． 17．（2010•厦门）如图，将矩形纸片ABCD（AD＞DC）的一角沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为E，折痕交AB边交于点F．若BE=1，EC=2，则sin∠EDC= 含有m、n的代数式表示）．
；若BE：EC=m：n，则AF：FB=
（用
考点：翻折变换（折叠问题）。
分析：①根据题意，BC=3=AD=DE，根据三角函数定义易求sin∠EDC；
②AF：FB=EF：FB．证明△BEF∽△CDE可得EF：FB=DE：EC，由BE：EC=m：n可求解． 解答：解：∵BE=1，EC=2，∴BC=3． ∵BC=AD=DE，∴DE=3． sin∠EDC=
=；
∵∠DEF=90°，∴∠BEF+∠CED=90°． 又∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BFE=∠CED．又∠B=∠C， ∴△BEF∽△CDE． ∴EF：FB=DE：EC． ∵BE：EC=m：n，
∴可设BE=mk，EC=nk，则DE=（m+n）k． ∴EF：FB=DE：EC=∵AF=EF，
=
．
∴AF：FB=．
点评：此题通过折叠变换考查了三角形的有关知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，注意对应相等关系．
三、解答题（共9小题，满分89分） 18．（2010•厦门）（1）计算：
（2）计算：[（x+3）+（x+3）（x﹣3）]÷2x； （3）解分式方程：
．
2
；
考点：解分式方程；整式的混合运算；零指数幂。 专题：计算题。 分析：（1）根据乘方、零指数幂进行计算；（2）利用完全平方公式、平方差公式，以及多项式除以单项式的法则计算；（3）方程两边都乘以最简公分母（x﹣1）（x﹣2），化为整式方程求解即可． 解答：解：（1）（﹣2）﹣2÷+2010 =4﹣6+1 =﹣1；
（2）[（x+3）+（x+3）（x﹣3）]÷2x，
22
=（x+6x+9+x﹣9）÷2x
2
=（2x+6x）÷2x =x+3；
（3）去分母得：3（x﹣2）=2（x﹣1） 化简得：3x﹣6=2x﹣2 解得：x=4
经检验，x=4是原方程的解， ∴原方程的解为x=4．
点评：本题主要考查整式的混合运算和解方程的知识点，解分式方程一定注意要验根． 19．（2010•厦门）如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地面控制点B的俯角α=20°（B、C在同一水平线上），求目标C到控制点B的距离（精确到1米）． （参考数据sin20°=0.34，cos20°=0.94，tan20°=0.36）
2
2
0
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。
分析：易知∠B=∠α=20°．在Rt△ABC中，运用正切函数求解． 解答：解：∵AD∥BC， ∴∠B=∠α=20°． 在Rt△ACB中， ∠ACB=90°，tanB=∴BC=
=
， =
3333（米）．
答：目标C到控制点B的距离为3333米．
点评：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 20．（2010•厦门）小明学完了统计知识后，从“中国环境保护网”上查询到他所居住城市2009年全年的空气质量级别资料，用简单随机抽样的方法选取30天，并列出下表： 空气质量级别 天数 优 a 良 15 轻度污染 2 中度污染 1 重度污染 0 请你根据以上信息解答下面问题：
（1）这次抽样中“空气质量不低于良”的频率为 0.9 ；
（2）根据这次抽样的结果，请你估计2009年全年（共365天）空气质量为优的天数是多少？ 考点：频数与频率；用样本估计总体。 专题：图表型。 分析：（1）首先求出随机抽样的30天中“空气质量不低于良”的天数，然后根据频率=频数÷数据总数得出结果； （2）首先求出随机抽样的30天中空气质量为优的频率，然后根据样本估计总体的思想，得出2009年全年（共365天）空气质量为优的天数． 解答：解：（1）∵这次抽样中，“空气质量不低于良”的频数是30﹣0﹣1﹣2=27， ∴频率为
=0.9；
（2）∵a=30﹣（15+2+1）=12， ∴365×
=146．
答：2009年全年（共365天）空气质量为优的天数大约为146天． 点评：本题考查的是频率的计算公式及通过样本去估计总体． 21．（2010•厦门）某市为更有效地利用水资源，制定了居民用水收费标准：如果一户每月用水量不超过15立方米，每立方米按1.8元收费；如果超过15立方米，超过部分按每立方米2.3元收费，其余仍按每立方米1.8元计算．另外，每立方米加收污水处理费1元．若某户一月份共支付水费58.5元，求该户一月份用水量？ 考点：一元一次方程的应用。 专题：应用题。
分析：由题意得，设该用户用水量为x，根据等量关系“水费=1.8×15+2.3×超出15立方米的部分+污水处理费”列出一元一次方程即可求解．
解答：解：∵若某户每月用水量为15立方米，则需支付水费15×（1.8+1）=42元， 而42＜58.5，
∴该户一月份用水量超过15立方米． 设该户一月份用水量为x立方米，
根据题意得：15×1.8+2.3（x﹣15）+x=58.5 解得：x=20
答：该户一月份用水量为20立方米．
点评：此题为一元一次方程的应用题，同学们应学会运用方程解决实际问题的能力． 22．（2010•厦门）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF． （1）求证：四边形EFCD是平行四边形； （2）若BF=EF，求证：AE=AD．
考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。 专题：证明题。 分析：（1）由△ABC是等边三角形得到∠B=60°，而∠EFB=60°，由此可以证明EF∥DC，而DC=EF，然后即可证明四边形EFCD是平行四边形；
（2）如图，连接BE，由BF=EF，∠EFB=60°可以推出△EFB是等边三角形，然后得到EB=EF，∠EBF=60°，而DC=EF，由此得到EB=DC，又
△ABC是等边三角形，所以得到∠ACB=60°，AB=AC，然后即可证明△AEB≌△ADC，利用全等三角形的性质就证明AE=AD． 解答：证明：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60°， ∵∠EFB=60°， ∴∠ABC=∠EFB，
∴EF∥DC（内错角相等，两直线平行）， ∵DC=EF，
∴四边形EFCD是平行四边形；
（2）连接BE
∵BF=EF，∠EFB=60°， ∴△EFB是等边三角形， ∴EB=EF，∠EBF=60° ∵DC=EF， ∴EB=DC，
∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°，AB=AC， ∴∠EBF=∠ACB， ∴△AEB≌△ADC， ∴AE=AD．
点评：此题把等边三角形和平行四边形结合在一起，首先利用等边三角形的性质证明平行四边形，然后利用等边三角形的性质证明全等三角形，最后利用全等三角形的性质解决问题． 23．（2010•厦门）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点、已知等腰梯形OABC，OA∥BC，点A（4，0），BC=2，等腰梯形OABC的高是1，且点B、C都在第一象限．
（1）请画出一个平面直角坐标系，并在此坐标系中画出等腰梯形OABC； （2）直线
与线段AB交于点P（p，q），点M（m，n）在直线
上，当n＞q时，求m的取值
范围．
考点：一次函数综合题。
专题：代数几何综合题。 分析：（1）求出梯形的各个顶点的坐标即可；
（2）利用待定系数法即可求得AB的解析式，进而求得P的坐标，即可求解． 解答：解：（1）画平面直角坐标系． 画等腰梯形OABC（其中点B（3，1）、点C（1，1））．
（2）依题意得，B（3，1） 设直线AB：y=kx+b， 将A（4，0）B（3，1）代入得∴直线AB：y=﹣x+4．
法一： 解方程组
得x=，即p=，
∵函数y=﹣x+随着x的增大而减小， ∴要使n＞q，须m＜q，
∴当n＞q时，m的取值范围是m＜．
法二：
解方程组得∴p=，q=，
∴点M（m，n）在直线y=﹣x+上 ∴n=﹣m+， ∵n＞q
∴﹣m+＞， ∴m＜，
∴当n＞q时，m的取值范围是m＜
点评：此题把一次函数与等腰梯形相结合，考查了同学们综合运用所学知识的能力，是一道综合性较好的题目．
24．（2010•厦门）设△A1B1C1的面积是S1，△A2B2C2的面积为S2（S1＜S2），当△A1B1C1∽△A2B2C2，且
时，则称△A1B1C1与△A2B2C2有一定的“全等度”．如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，∠B=30°，
∠BCD=60°，连接AC．
（1）若AD=DC，求证：△DAC与△ABC有一定的“全等度”；
（2）你认为：△DAC与△ABC有一定的“全等度”正确吗？若正确，说明理由；若不正确，请举出一个反例说
明．
考点：相似三角形的判定与性质；平行线的性质。 专题：新定义。 分析：（1）先过点D作DE⊥AC，交AC于E，利用AD∥BC，AD=DC，∠BCD=60°，可证∠DAC=∠ACD=∠ACB=30°，那么△ABC和△DAC中就有两组对应角相等，即可求它们相似．可以设DE=x，由于∠DAC=30°，所以AD=2x，AE=
x，那么利用等腰三角形三线合一定理，可知AC=2
x=AB，于是S△DAC：S△ABC=DA：AB=（
）=1：
2
3，而0.3≤≤0.4，所以两三角形有一定的全等度；
（2）不正确，举出反例进行论证其错误即可．比如可令∠ACB=40°，则∠ACD=20°，∠DAC=40°，∠BAC=110°，
∠ADC=120°，显然两个三角形不相似，当然就不存在全等度了． 解答：（1）证明：∵AD=DC ∴∠DAC=∠DCA ∵AD∥BC
∴∠DAC=∠ACB ∵∠BCD=60°
∴∠ACD=∠ACB=30° ∵∠B=30°
∴∠DAC=∠B=30° ∴△DAC∽△ABC
过点D作DE⊥AC于点E， ∵AD=DC ∴AC=2EC 在Rt△DEC中
∵∠DCA=30°，cos∠DCA=∴DC=∴
=
EC
2
=
∴=（）==0.33
∵0.30.4
∴△DAC与△ABC有一定的“全等度”．
（2）解：△DAC与△ABC有一定的△“全等度”不正确． 反例：若
∠ACB=40°，则△DAC与△ABC不具有一定的“全等度”． ∵∠B=30°，∠BCD=60°， ∴∠BAC=110° ∵AD∥BC ∴∠D=120°
∴△DAC与△ABC不相似
∴若∠ACB=40°，则△DAC与△ABC不具有一定的“全等度”．
点评：本题利用了等边对等角的性质、平行线的性质、三角函数值、相似三角形的判定、相似三角形的面积比等于相似比的平方等知识． 25．（2010•厦门）如图，矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F， （1）求
的长；
（2）若，直线MN分别交射线DA、DC于点M、N，∠DMN=60°，将直线MN沿射线DA方向平移，设点D到直线的距离为d，当时1≤d≤4，请判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由．
考点：直线与圆的位置关系；矩形的性质；切线的性质；弧长的计算。 专题：分类讨论。 分析：（1）连接OE、OF，利用相切证明四边形AFOE是正方形，再根据弧长公式求弧长； （2）先求出直线M1N1与圆相切时d的值，结合1≤d≤4，划分d的范围，分类讨论． 解答：解：（1）连接OE、OF，
∵矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F， ∴∠A=90°，∠OEA=∠OFA=90° ∴四边形AFOE是正方形 ∴∠EOF=90°，OE=AE= ∴
（2）如图，将直线MN沿射线DA方向平移，当其与⊙O相切时，记为M1N1，切点为R，交AD于M1，交BC于N1，
连接OM1、OR， ∵M1N1∥MN
∴∠DM1N1=∠DMN=60° ∴∠EM1N1=120°
的长==π．
∵MA、M1N1切⊙O于点E、R ∴∠EM1O=∠EM1N1=60° 在Rt△EM1O中，EM1=
=
=1
∴DM1=AD﹣AE﹣EM1=+5﹣﹣1=4． 过点D作DK⊥M1N1于K 在Rt△DM1K中
DK=DM1×sin∠DM1K=4×sin∠60°=2即d=2， ∴当d=2时，直线MN与⊙O相切， 当1≤d＜2时，直线MN与⊙O相离，
当直线MN平移到过圆心⊙O时，记为M1N1，点D到M1N1的距离d=DK+OR=2∴当2＜d≤4时，MN直线与⊙O相交．
+=3＞4，
点评：本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定． 26．（2010•厦门）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点P（m，﹣1）（m＞0）．连接OP，将线段OP绕点O
2
按逆时针方向旋转90°得到线段OM，且点M是抛物线y=ax+bx+c的顶点．
2
（1）若m=1，抛物线y=ax+bx+c经过点（2，2），当0≤x≤1时，求y的取值范围；
22
（2）已知点A（1，0），若抛物线y=ax+bx+c与y轴交于点B，直线AB与抛物线y=ax+bx+c有且只有一个交点，请判断△BOM的形状，并说明理由． 考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。 分析：（1）分别过P、M作x、y轴的垂线，设垂足为Q、N；通过证△MON≌△OPQ，可求出MN、ON的长，即可得到M点的坐标；根据M点的坐标，即可求出抛物线的解析式；结合自变量的取值范围及抛物线的对称轴方程即可求得y的取值范围；
（2）在（1）中已经求得M（1，m），可用a、m表示出抛物线的解析式（顶点式），进而可求出B点的坐标；用待定系数法即可得到直线AB的解析式，联立直线AB与抛物线的解析式，由于两个函数只有一个交点，那么所得方程的△=0，由此可求出m、a的关系式，即可用m表示出B点的坐标，然后分别求出△BOM的边长，然后判断△BOM的形状． 解答：解：（1）∵线段OP绕点O按逆时针方向旋转90°得到线段OM ∴∠POM=90°，OP=OM
过点P（m，﹣1）作PQ⊥x轴于O，过点M作MN⊥y轴于N， ∵∠POQ+∠MOQ=90° ∠MON+∠MOQ=90°
∴∠MON=∠POQ ∴∠ONM=∠OQP=90° ∴△MON≌△OPQ
∴MN=PQ=1，ON=OQ=m ∴M（1，m） ∵m=1
∴M（1，1）
2
∵点M是抛物线y=a（x﹣1）+1 ∵抛物线经过点（2，2） ∴a=1
∴y=（x﹣1）+1
∴此抛物线开口向上，对称轴为x=1 ∴当0≤x≤1时，y=2， 当x=1时，y=1
∴y的取值范围为1≤y≤2．
（2）∵点M（1，m）是抛物线y=ax+bx+c的顶点
2
∴可设抛物线为y=a（x﹣1）+m
22
∵y=a（x﹣1）+m=ax﹣2ax+a+m ∴B（0，a+m） 又∵A（1，0）
∴直线AB的解析式为y=﹣（a+m）x+（a+m） 解方程组
2
2
2
得ax+（m﹣a）x=0
2
∵直线AB与抛物线y=ax+bx+c有且只有一个交点，
2
∴△=（m﹣a）=0 ∴m=a
∴B（0，2m）．
在Rt△BNM中，由勾股定理得 OM=MN+ON=1+m ∴BM=OM
∴△BOM是等腰三角形．
2
2
2
2
点评：此题考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定和性质、函数图象交点坐标的求法以及等腰三角形的判定等知识．
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