概率论中具有无记忆性分布的讨论
刘海涛，数学计算机科学学院
摘 要我们知道概率论讨论了离散型随机变量和连续型随机变量，在离散型随
机变量中，我们常见有二项分布，几何分布，泊松分布;在连续型随机变量中，
常见均匀分布，指数分布，正态分布。这些分布中那些具有记忆性呢,以及具有
记忆性的分布，在实际生活生产中有什么应用呢,
关键词记忆性,连续型,离散型,指数分布,几何分布,
Probability theory has no memory sex in the distribution of
discussion
Haitao liu, mathematical computer science institute
Abstract: We know that the probability of discrete random variables are discussed with a continuous random variable, In discrete random variable, Our common have binomial distribution, geometric distribution, poisson distribution;
In a continuous random variable, Common uniformly distributed, exponential distribution, normal distribution. The distribution of those with memory? And with the distribution of memory sex, in real life what application in production?
Key Words: memorability; A continuous; Discrete; Exponential distribution; Geometric distribution;
1 引言
我们知道,在单位时间内电话交换局电话的呼叫次数、来到公共汽车站的乘客人数、来到机场降落的飞机架数以及母鸡下蛋数等都可以用泊松分布来描述,即
k,,,Pek(()=k)=,0,1,2,,L,, k～
并且还知道其中的参数为单位时间内,电话呼叫次数、乘客人数、飞机,
0,t架数、下蛋数等,的平均值.如果现在考察的不是单位时间,而是,那么这,,个平均值应该与时间成反比,也就是,又因为泊松分布具有可加性,所以在,tt
0,t这段时间内,电话呼叫次数、乘客人数、飞机架数、下蛋数等,应该服从的,,
分布为
k(),t,,t(()=k)=,LPek,0,1,2,,,t ～k
0,t这是一个参数为,t的泊松分布.由此可知,上述在时间内电话呼叫次,,
数、乘客人数、飞机架数、下蛋数等虽然来源于不同的实际问题,却有着相同的数量不规律——都可以用泊松分布来描述,在数学,排队论,中称它们是“泊松流”.以机场跑道为例,在来到一架飞机以后,这条跑道就空着等待下一架飞机的到来,这段空闲时间称为“等待时间”,它的长短当然是随机的.在公用事业,电话、公共汽车、飞机场等,的设计与规划中,这个“等待时间”太长和太短都是不合理
的,因而有必要研究这个“等待时间”有怎样的统计规律,现在不妨以“母鸡下蛋”
为例来讨论这个为题,看下面的例子,
例. 设母鸡在任意t,tt，的时间间隔内下蛋个数服从的分布为 ,,00
k(),t,,t(()=k)=,LPek,0,1,2,,,t ～k
,问两次下蛋之间的“等待时间”服从怎样的分布,
,解, 设前一次咸蛋时刻为0,因为不可能为负,
t,0所以当时,显然有
Pt()0,,,
t,0而当时,因为在等待时间内母鸡不会下蛋
()(()0),,,,,,t t
所以有
,,tPtPe()(()0),,,,,,, t
于是
,,tPtPte()1()1,,,,,,,,
,从而的分布函数为
,,t,1,0,,et
,FtPt()(),,,, 0,0t,,
e(),概率论中称这个分布函数是参数为,的指数分布.记为.
e(),这样指数分布的密度函数为,
,,t,,et,0,
px(),, 0,0t,,
2 猜想问题
e(),对于指数分布,他在生活生产中应用广泛,那么他与其他的分布有什么特别的地方呢,研究它有什么价值呢,
下面我们来看看这样一个命题,
,,:ePstsPt(|)(),，,,,,,,,,st,0，，设,,则
Psts(|),,,，,证明,
Psts(,),,,，,
,
Ps(),,
Pst(),，,
,
Ps(),,
,，,()st
e
,,s,
e
,t,
,e
,,Pt(),
此性质称为无记忆性.
s,如果是某一元件的寿命,那么无记忆性就表明,已知元件已使用了小时,它总共能使用至少小时的条件概率,与从开始使用时算起它至少能使用小st，t时的概率相等,这就是说,元件对它已使用过小时没有记忆. s
对此,我们想想还有哪些分布具有记忆性呢,或者说还有哪一些分布能够满
足
PstsPt(|)(),,,,，,,,
3 连续型分布 我们来看看连续型随机变量分布中的其它几个常见分布,
Uab(,)均匀分布
1,，axb,,,px(),ba-,
,0,其它,
0,xa,,
,xa,,
Fxaxb(),,,，,
ba-,
1,xb,,,
,:Uab(,),,st,0设,,证明均匀分布是否具有记忆性
证明, ?当时 sa,
Psts(|),,,，,
Psts(,),,,，,
,
Ps(),,
Pst(),，,,
Ps(),,
1(),,，Pst,, 1(),,Ps,
Fst()，
,
Fs()
Fs()0,而,我们知道此种情况矛盾不成立. asstb,,，,?当时
Psts(|),,,，,
Psts(,),，,,,
,
Ps(),,
Pst(),，,,
Ps(),,
1(),,，Pst,,
1(),,Ps,
Fst()，
,
Fs()
sta，,
ba,,
sa,
ba,
sta，,
,
sa,
b,tt,a,而,于是,这样 Pt()1,,或者Ft()0,或者ba,ba,PstsPt(|)(),,,,，,,,
我们知道此种情况不具有记忆性.
asbst,,,，?当时
Psts(|),,,，,
Psts(,),，,,,
,
Ps(),,
Pst(),，,,
Ps(),,
1(),,，Pst,,
1(),,Ps,
Fst()，
,
Fs()
1
,
sa,
ba,
ba,
,
sa,
b,t,而显然不能够保证 Pt()10,,或者或者
ba,
PstsPt(|)(),,,,，,,,
恒成立
我们知道此种情况不具有记忆性.
b,,，sst?当时
Psts(|),,,，,
Psts(,),,,，,
,
Ps(),,
Pst(),，,,
Ps(),,
1(),,，Pst,,
1(),,Ps,
Fst()，
,
Fs()
,1
b,t,而显然不能够保证 Pt()10,,或者或者
ba,
PstsPt(|)(),,,,，,,,
恒成立
我们知道此种情况不具有记忆性.
由?、?、?、?综合可得出,均匀分布不具有记忆性.
2正态分布 N(,),,
2()x,,,122,pxx,,,,,，,()e,,,,,,0,,其中 ,,2
2()t,,,x122,Fxdt,()e ,,,,,2 N(0,1)标准正态分布
2x,12,xx,,,,,，,()e, ,2
2t,x12,,xdt()e ,,,,2
,:N(0,1),st,设,,证明均匀分布是否具有记忆性
证明,
Psts(|),,,，,
Psts(,),,,，,,
Ps(),,
Pst(),，,,
Ps(),,
1(),,，Pst,,
1(),,Ps,
,，()st,
,()s
2xst，,12edx,,,2,2,xs,12edx,,,2
,22xxst,,22eedxdx，,,,,,,,2xs,2edx,,,
2xt,12edx,,,2,，12xs, ,12edx,,,2
,1,
2x,t2Pttdx()()e1,,,,,, ,,,
所以
PstsPt(|)(),,,,，,,, 我们知道标准正态分布不具有记忆性.
2,,,:N(,)若
x,,
Px()(),,,, ,
由上对标准正态分布的分析可知,正态分布也不具有记忆性.
4 离散型随机变量
接下来我们看离散型随机变量中的几个常见分布,
对于离散型随机变量,我们看一个分布是否具有记忆性,可以看
PstsPt(|)(),,,,，,,,,,st,0,其中
Bnp(,)二项分布
kknk,PkCpp()(1),,,, n
,:Bnp(,)设,,证明均匀分布是否具有记忆性 ,,,,stst,0n且
证明,
ttnst,,PstsCpp(|)(1),,,，,,, ns,
ttnt,PtCpp()(1),,,, n
PstsPt(|)(),,,,，,,,
ttnstttnt,,,,,,,CppCpp(1)(1)nsn,
tnsttts,,，，,,,,ppCCp(1)(1)nsn,，，
，，()!!nsn,tnsts,,,,,,ppp(1)(1),,()!!()!!nsttntt,,,，，，，1()!!nsn,tnsts,,,,,,ppp(1)(1),,tnstnt!()!()!,,,，，,0
由此知道,二项分布不具有记忆性.
Gp()几何分布
n,1Pkpp()(1),,,,
,:Gp(),,st,0设,,证明均匀分布是否具有记忆性 证明,
t,1Pstspp(|)(1),,,，,,,
t,1Ptpp()(1),,,,
PstsPt(|)(),,,,，,,, 所以知道几何分布具有记忆性.
p(),泊松分布
k,,,Pke(),,, k!
,,:p(),,st,0设,,证明均匀分布是否具有记忆性 证明,
,:Bnp(,)由泊松的定义知道,,而通过上面证明知道二项分布不具有n
记忆性,所以我们可以知道泊松分布同样不具有记忆性。
5 小结
讨论连续型随机变量中的指数分布时,我们发现了它的记忆性的特点,发现了它的记忆性在生活生产方面的好处,进而我们想看其它的分布是不是有这种性质。我们讨论了连续型随机变量中的均匀分布、正态分布,离散型随即变量中的二项分布、几何分布、泊松分布,最后发现除了指数分布具有记忆性,离散型随即变量中的几何分布也具有记忆性。
参考文献
[1] 魏宗舒等编.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社.2009. [2] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社.2007. [3]马洪宽、张华隆主编.概率论与数理统计[M].上海:上海交通大学出版社.2005. [4]张继昌编著.概率论与数理统计教程[M].浙江:浙江大学出版社.2004. [5]王玉孝、汪彩云编.概率论、随机过程与数理统计[M].北京:北京邮电大学出版社.2008.
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