两对⻆角矩阵⼀一定可交换可交换可逆矩阵⼀一定可交换例例：数量量矩阵与同级矩阵数乘加减分块乘法（保证每⼀一次乘法有意义即可，左的⼦子矩阵在左）分块矩阵的初等⾏行行／列列变换=⽤用相应的分块初等矩阵左／右乘AB[i][j]=A第i⾏行行B第j列列内积矩阵乘法单位矩阵I（主对⻆角线全1、⽅方阵）数量量矩阵kI对⻆角矩阵D左／右乘A相当于⽤用D的对⻆角元分别乘A的对应⾏行行／列列上／下三⻆角矩阵乘积仍为上／下三⻆角矩阵，且主对⻆角元乘积=相应主对⻆角元乘积左／右乘A即将A某⼀一⾏行行／列列移位，其余舍弃左／右乘A相当于对A作了了⼀一次相应初等⾏行行／列列变换⽅方阵det(A)!=0（满秩）伴随矩阵法求逆矩阵可逆矩阵（⾮非奇异矩阵）初等矩阵都可逆（做⼀一次逆变换）初等变换法可对⻆角化判定特征值、特征向量量定义左⾏行行右列列，线性表出叠加、堆砌结合律律✅交换律律❌左右分配律律✅消去律律❌转置秩的性质Rank(AA’)=Rank(A’A)=Rank(A)=Rank(A’)[ 证明⽅方法：线性⽅方程组同解]Rank(AB)<=min{Rank(A),Rank(B)}A:m*n;B:n*s;Rank(A)+Rank(B)<=n+Rank(AB)⾏行行列列式的性质det(AB)=det(A)*det(B)A经过⼀一系列列初等⾏行行列列变换变成B相抵（等价）相抵标准形M(局部I其余0)充要条件：尺⼨寸相同、秩相同定义A~B(B = U.inv*A*U)⾏行行列列式相等相同的秩A = PMQ分块矩阵的运算矩阵的性质相似性质对称性相同的可逆性相同的迹（引理理：tr(AB)=tr(BA)相同的特征多项式、特征值A~D(D = U.inv*A*U)D是A的相似标准形Aα=ƛα特征值带⼊入⽅方程求解特征向量量特征多项式det(ƛI-A)=0检验：最⾼高次系数1，第⼆二⾼高次数：-tr(A),常数项(-1)^n*det(A)⽅方便便计算矩阵的⾼高次幂相似标准形D主元为特征值上（下）三⻆角矩阵基本矩阵E(i,j)初等矩阵（单位矩阵经过⼀一次初等⾏行行／列列变换）判定属于不不同特征值的特征向量量是线性⽆无关的充要条件：有n个线性⽆无关的特征向量量充要条件：属于不不同特征值的特征⼦子空间的维数之和=n特殊矩阵⼀一定可交换 AB=BA=I可表示为⼀一些初等矩阵的乘积（充要）性质取逆运算的性质与转置记号可交换倒序充分条件：有n个不不同的特征值（最多n个，代数基本定理理）左／右乘矩阵不不改变其秩、可逆性（相当于⼀一系列列初等变换）对称矩阵（A’=A）斜（反）对称矩阵（A’=-A）⽅方阵判定AA’=IA.inverse = A’A、B正交则AB正交正交矩阵性质det(A)=1 or -1rows(i).*rows(j) = Kronecker(i,j)正交化特征值均为实数属于不不同特征值的特征向量量是正交的正交相似于对⻆角矩阵(T.inv*A*T=D)T是正交矩阵，将特征向量量正交化、单位化垒成T矩阵表示A⼆二次型的矩阵（对称矩阵）X是X1,X2...Xn构成的列列向量量f(X1,X2...Xn)=X’AXX’AX===>Y’BY两⼆二次型等价X=CY C是数域K上的n级可逆矩阵。作从变量量X1,X2...Xn到Y1,Y2...Yn的⾮非退化（det(C)!=0）线性替换⼆二次型的秩即⽅方阵A的秩实对称矩阵合同标准形对称矩阵A合同于对⻆角矩阵D，则D是A的合同标准形对称矩阵A的相似标准形也是合同标准形(合同标准形可以有多种，但是相似标准形唯⼀一确定（除了了主对⻆角元排列列顺序）)等价矩阵A、B合同A≃B秩相等B=C’ACC是可逆矩阵，A、B秩相等等价于：秩相等、正惯性指数相等都合同于对⻆角矩阵规范形相同所有⼆二次型都等价于标准形标准形（只含平⽅方项）从任意⼀一组基出发经施密特正交化、单位化得到等价的正交单位向量量组正惯性指数相等求标准形矩阵的成对初等⾏行行列列变换法求特征值法(A,B)=(A,B’)⾏行行向量量标准内积(C,D)=(C’,D)列列向量量正交（内积=0）有多种，但系数中正、负、零的数量量相同对于实⼆二次型⽽而⾔言n充要条件：⾏行行／列列向量量组是R⼀一个标准正交基n欧⼏几⾥里里得空间R正交向量量组（两两正交）正交基标准正交基⼆二次型性质规范形只含平⽅方项平⽅方项系数为1/0/-1对⼀一个实⼆二次型是惟⼀一的（惯性定理理）正惯性指数-负惯性指数=符号差正惯性指数+负惯性指数=⼆二次型的秩求法合同规范形对标准形再作⼀一次⾮非退化线性替换（系数绝对值开⽅方）相应对⻆角矩阵对⻆角元按照1,-1,0排列列，称合同规范形对于任意列列向量量X都有X’AX>0充要：合同于In定义正定⼆二次型 充要：正惯性指数=n充要：合同规范形为In相应A为正定矩阵（⼀一定是实对称矩阵）充要：特征值全⼤大于零充要：A的所有顺序主⼦子式全⼤大于零A正定，则A’,A,A*均正定判定n中n个向量量组成的正交向量量组R…n个单位向量量组成的正交向量量组例例：ε1..n半正定、负定、半负定、不不定