线性代数电子书下载-样章范文

第1章 行列式

第2章矩阵

第3章线性方程组

第4章矩阵对角化与二次型

习题解答

第3章 线性方程组

线性方程组在经济领域、工程技术中都有着广泛的应用，第2章的矩阵理论，为研究线性方程组在什么条件下有解,以及在有解时如何求解提供了一个有利的工具。在这章里我们将借助矩阵这个工具对一般线性方程组解的相容性问题及解的结构问题进行讨论，介绍向量的概念、性质及方程组解的向量表示。

一般的线性方程组是指形如

a11x1a12x2a1nxnb1axaxaxb2112222nn2 (3—1) am1x1am2x2amnxnbm的线性方程组.若记

a11aA21am1a12a22am2a1nx1b1xba2n,X2,B2 amnxnbm则方程组(3—1)可写成矩阵形式 AX=B

其中矩阵A称为系数矩阵(matrix of coefficients),AAB 称为增广矩阵

（augmented matrix）.当B≠0时称为非齐次线性方程组(nonhomogeneous system of

linear equations),当B=0时即AX=0称为齐次线性方程组(homogeneous system of linear equations).

3.1线性方程组㊀的相容性

3.1.1高斯㊁消元法

从第2 章矩阵的运算我们可以推出,对线性方程组进行初等行变换是不会改变其解

的.

定理3.1.1:若将线性方程组AXB的增广矩阵AAB用初等行变换化为

UV,则方程组AXB与UXV是同解方程组.

证 由于对矩阵施行一次初等行变换等价于矩阵左乘一个初等矩阵,因此存在初等矩

阵P1,P2,,Pk,使得

㊀线性方程组的研究有着悠久历史,它的解法，早在中国古代的数学著作《九章算术 ?方程》章中已作了比较完整的论述。在西方，线性方程组的研究是在 17 世纪后期由莱布尼茨开创的。

㊁高斯(Carl Friedrich Gauss, 1777-1855) ，德国数学家、天文学家和物理学家。

PkPk1P1ABUV,

记PkPk1P1P,由初等矩阵的可逆性知P可逆.若设X1为AX =B的解,即AX1=B,两边同时左乘矩阵P,有 PAX1=PB

(PA)X1=PB 即 UX1=V

于是X1是方程组UX=V的解.反之,若X2为UX=V的解,即

UX2=V

-1 -1

两边同时左乘矩阵P，得 P -1UX2=PV （P -1U）X2=P -1V 即 AX2=B X 2亦为AX=B的解。

综上所述，AX=B与UX=V的解相同，称之为同解方程组。 证毕.

由矩阵的理论可知，我们应用矩阵的初等变换可以把线性方程组（3-1）的增广矩阵

A化为阶梯形矩阵(或简化阶梯形矩阵),根据定理3.1.1可知阶梯形矩阵(或简化阶梯形

矩阵)所对应的方程组与原方程组(3-1)同解,这样通过解阶梯形矩阵(或简化阶梯形矩阵)所对应的方程组就求出原方程组(3-1)的解,这种方法称为高斯消元法(Gaussian elimination).

x1x2x3x40例1解线性方程组2x1x23x32x41

3x2xx2x42341解:将方程组的增广矩阵用初等变换化为标准形

11011110r2r1121r033r1A213211101241454321011011111101r30 53r2r01101110100555001111111100100r1r3r0102r31r2r01010100011100111这时矩阵所对应的方程组为

x1x4x2x3x4x410 1x11x4将x4移到等号右端得 x20x4

x1x43x11tx0t2若令x4取任意常数t,则得  , (3—2)

x31tx4tx111x012或写成向量形式 t

x311x401 其中

x4称为自由未知数(free unknown number)或自由元,(3—2)式称为方程组的通解

（general solution）或一般解.

例2求线性方程组的解

x1x22x313xx2x3123 

x12x2x312x2x3x5123解:

11211211r2(41)r12A3123r1r23rr131404403(117)r40111211r2r11120112235000770010000rr1r210113r20110r1r1r42r40101r32r4100r3r40101002200001001100110010000根据定理3.1.1知,矩阵对应的方程组

x10 x21

x31与原方程组同解,因此原方程组有唯一的解.

例3求解线性方程组

x12x23x32x413x1x25x3x41 2x1x22x33x43解:

12321A31511r3r12321r2132r102123354740547112321r3r20547400005根据定理3.1.1知,矩阵所对应的方程组

1021

x12x23x32x41 5x24x37x44 (3—3)

0x45与原方程组同解.但方程组(3—3)由最后一个方程可知它无解,故原方程组无解.

3.1.2非齐次线性方程组的相容性

如果一个非齐次线性方程组有解我们可以通过高斯消元法求得它的解.但是一个非齐次线性方程组满足什么条件时才能有解呢?线性方程组的相容性定理可以告诉我们.

定义3.1.1: 如果一个线性方程组它存在解,则称方程组是相容的(compatible),否则就称方程组是不相容（incompatible）或矛盾方程组.

在例1、例2中方程组都存在解,因此它们都是相容的.同时我们会发现它们的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩:r(A)r(A),且例1中r(A)r(A)34n,方程组有无穷多解, 例2中r(A)r(A)3n,方程组有唯一的解.在例3中方程组无解,因此是不相容的,此时r(A)2r(A)3,即r(A)r(A).通过对上述例题的分析,我们可证得下面给出的线性方程组的相容性定理:

定理3.1.2:对非齐次线性方程组(3-1)

(1)当r(A)r(A)时,方程组相容.且当r(A)r(A)n时有唯一的解,当

r(A)r(A)n时有无穷多解.

(2) 当r(A)r(A)时,方程组不相容.

证明:对A施以将A变成梯形矩阵N1的行初等变换,有 其中AN1

12mT.于是,方程组(3-1)AXB被化成同解(等价)方程组

 (3—4)

N1X下面讨论这个方程组的相容性. (1)当r(A) 若rr(A)r时,必有r1m0.

n,则在方程组(3—4)中剔除后mn个(如果mn)系数及自由项全为零的平凡方程后,

成为一系数矩阵为满秩矩阵的nn线性方程组,容易求得其唯一解.

若rn,而

N1各非零行的首非零元分别出现在i1,,ir列,则在将方程组(3—4)中xi1,,xir以外的nr未知数移向右端作自由项(即任意常数)对待后,可以求出xi1,,xir,从而得到方程组解的

一般表达式,即通解式.方程组的每个具体解都可由对通解中的常数取适当的指定值而得到.

(2)当r(A)rr(A)时, r1,,m中至少有一个不为零,不妨设r10,于是方程组

0xnr1(0)

(3—4)中含有一个无论什么数值x1,,xn均不能满足的方程

0x1故方程组(3—4)无解,即方程组(3—1)无解,为不相容的. 证毕.

例4对方程组

kx1x2x35 3x12x2kx3185k

x2x232问k取何值时方程组有唯一解?无穷多解?无解?在有无穷多解时求出通解.

解:

5rr3k11k0113r30k4145k22r3A32k185k22201201412521400kk1kk3k3333r1r2330k4145k

220130r1r22r3r0100(1)当

k4145k 22415214kk21kk3333341kk210时，即当k1且k3时，r(A)r(A)3n有唯一解. 335214k30,故r(A)r(A)2,方程组有无穷多解,(2)当k1时,也有k33通解含有nr(A)321个任意常数.此时矩阵对应的方程组

3x13x39 x2x232x13t与原方程组同解,其通解为 x222t

xt3x131或写成向量形式 x22t2 x301 (3)当k3时, r(A)23r(A),方程组无解. 3.1.3齐次线性方程组相容性

设齐次线性方程组为

a11x1a12x2a1nxn0axaxax021121222nn (3—5) am1x1am2x2amnxn0写成矩阵形式 AX0

对齐次线性方程组(3—5)来说总是相容的,因为它至少有一个零解:X(0,0,,0)T.除此之外它还可能存在非零解.由定理3.1.2可直接证得:

定理3.1.3:方程组(3—5)有非零解的充分必要条件是r(A)n,且在能得出任一解的通式中含有nr(A)个任意常数.有唯一零解的充分必要条件是r(A)n

例5求下列齐次线性方程组的通解

x15x1x13x1解：

3x2x211x25x2x32x32x32x43x45x4x400 001211313r25r15r3r1014123343r1rA1110142533501143011313123014371r0r3r2124r21414r000000000000001r13r2000此矩阵对应的方程组

277721200511423111420000000

x1x25x3143x3141x421x4251xxx431142 即  31x2x3x401420（其中x3，x4为自由未知数），取x3t1,x4t2,(t1,t2为任意常数)，则方程组的通解可写成：

51xtt21114231t1t2 x2142xt31x4t251x1142x312t。 t1 或写成向量形式

x314210x401解中两个（即nr(A)个）非零向量1(5311,,1,0)T，2(,,0,1)T都是方程141422组的解，可称它们为该方程组的一个基础解系,详细内容将在后面介绍。

习 题 3.1

1、判断下列方程组是否有解，若有解，用高斯消元法求出一般解。

4x12x2x322x1x2x3x41 （1）3x1x22x310 （2）4x12x22x3x42

11x3x82xxxx11212342x13x2x342x1x2x3x41x2x4x5123 （3） （4）3x12x2x33x44

x4x3x5x23x18x22x31323414xx9x62313x15x2x32x402x3x5xx01234 2．求齐次线性方程组 的通解。

x7x4x3x023414x115x27x39x40 3．问k取何值时，线性方程组

kx1x2x31x1kx2x3k xxkxk2231无解？有唯一解？有无穷多个解？有解时并求出它的解。

4．当k取何值时，线性方程组

(k2)x13x22x30 x1(k8)x22x30

2x14x(k3)x0231有非零解？并求出它的一般解。

3.2 n维向量及其线性相关性

3.2.1 n维向量的概念

n维向量就是一种特殊的矩阵.为从数学上摹写速度、位移、力、…等物理量，出现了既有大小又有方向的向量，在数学中常用有向线段表示，在笛卡尔坐标系中，可将向量的始点移到原点做成径向量，用终点的二维坐标（x，y）（在平面）、三维坐标（x，y，z）

（在空间）来表示。这二、三维数组（x，y）、（x，y，z）就是向量。本节就是将在这二、三维向量的基础上进行推广。

定义3.2.1:由n个数a1,a2,,an组成的一个有序数组称为n维向量(n—dimensional vector),记作

a1,a2,,an (3—

6)

或 —7)

其中ai(i1,2,,n)称为n维向量的第i个分量（component）(或坐标).

向量常用希腊字母 ,,, 表示.

式(3—6)表示的向量称作n维行向量（row vector）,式(3—7)表示的向量称作n维列向量（column vector）. 它们的区别只是记法不同.分量全为零的向量称作零向量（zero vector）,记作0.

定义3.2.2:当两个n维向量a1,a1,a2,,anT (3

a2,,an与b1,b2,,bn的

对应分量都相等时,即aibi (i1,2,,n),则称向量α等于向量β，记为α=β。

按照矩阵的加法和数与矩阵的乘法运算法则我们不难定义向量的加法和数与向量的乘法运算。

定义3.2.3:设n维向量a1, a1b1,a2,,an,b1,b2,,bn,则向量

a2b2,,anbn

称为向量α与β的和,记作.

若记 b1,b2,,bn为β的负向量,则可定义向量α与β的差:

() 定义3.2.4:设n维向量a1,a2,,an,是一个实数,则向量

a1,a2,,an

称为数与向量α的乘积,记作.

向量加法和数与向量的乘法两种运算,统称为向量的线性运算,它满足下面的运算律(设α,β,γ为n维向量,λ,μ是实数):

(1) α+β=β+α;

(2) (α+β)+γ=α+(β+γ); (3) α+0=α; (4) α+(－α)=0; (5) 1α=α;

(6) λ(μα)= (λμ)α; (7) λ(α+β)= λα+λβ; (8) (λ+μ) α=λα+μα.

3.2.2向量组的线性相关与线性无关 定义3.2.5:对于向量组1,2,,m,任取一组数k1,k2,,km,称 k11k22kmm

是1,2,,m的一个线性组合(lineat combination).对一个向量,若存在一组数

k1,k2,,km,使得

k11k22kmm

则称可由1,2,,m线性表示（linear representation）,或称是1,2,,m的线性组合.

例1 设

3134,2,1,2 ,

12230226则 1223 所以可由1,2,3线性表示.

100a1例2设三维向量e10,e21,e30,则对任何一个三维向量a2都可001a3由e1,e2,e3线性表示: a1e1a2e2a3e3 .

a1a2一般地,任何一个n维向量都可由n维向量组

an100e10,e21,,en0 (3—8)

001线性表示.向量组(3—8)称为n维单位坐标向量（unit coordinate vectors）.

b1a11a12a1mbaaa221222m 设 ,1,2mbaann1n2anm若可由1,2,,m线性表示,则必存在一组数k1,k2,,km,使

k11k22kmm

成立,它等价于方程组

a11k1a12k2a1mkmb1akakakb2112222mm2  (3—9)

an1k1an2k2anmkmbn有解.因此有下面定理

定理3.2.1:向量可由1,2,,m线性表出的充分必要条件是方程组(3—9)有解,且方程组的一组解就是线性组合的一组系数.

例3判断向量能否由向量组1,2,3,4线性表出,若能,求出一组组合系数.其中

1110200211,1,2,3,4

0132011101解: 由方程组 k11k22k33k44

x1即x1x1求解:

x22x23x2x2x32x32x4x4x41

00110 11123102110r3r1110rr41020001101021220021110 22101010020011001010101 02102011010r3r2(1)r4001r2r310r2200得 k111r12r40r2r42110rr340011100100111100r1r22001010001001000010010011,k2,k31,k40, 2211所以有 123

22定义3.2.6:对于向量组1,2,,m,若存在m个不全为零的数k1,k2,,km,使得

k11k22kmm0 (3—10)

则称向量组1,2,,m线性相关(linear dependence);否则称向量组1,2,,m线性无关(linear independence),即当且仅当k1k2km0时,才有 k11k22kmm0

成立.

由定义3.2.6易验证以下结论的正确性: (1)任意一个包含零向量的向量组必线性相关.

(2)两个非零向量线性相关的充分必要条件是它们的对应分量成比例.

(3)如果向量组1,2,,m中有一部分组线性相关,则向量组1,2,,m必线性相关.

(4)如果向量组1,2,,m线性无关,则任何部分组必线性无关.

(5)如果向量组1,2,,m线性无关,而向量组1,2,,m,线性相关,则可由向量组1,2,,m线性表出.

3.2.3向量组的线性相关性的判定

定义3.2.6表明, 向量组1,2,,m线性相关还是线性无关,取决于齐次线性方程组

x11x22xmm0 (3—11) 是有非零解还是只有唯一零解.即若线性方程组(3—11)有非零解k1,k2,,km,使 k11k22kmm0

则知向量组1,2,,m线性相关.若线性方程组(3—11)只有唯一零解:

x1x2xm0,

则向量组1,2,,m线性无关.由此可得如下重要结论:

定理3.2.2:向量组

a11a12a1maaa21221,2,,m2m,

an1an2anm线性相关(无关)的充分必要条件是矩阵

a11a21 (12m)an1a12a22an2a1ma2m anm的秩小于(等于)向量组1,2,,m中向量的个数.

因为一个矩阵的秩不会大于矩阵的行数,因此可得下面的结论:

定理3.2.3:若n维向量组中向量的个数大于n,则该向量组必线性相关. 例4判断下列向量组的线性相关性

(1)11,3,2,4,2(2,3,4,1)T,3(4,2,5,2)T.

T(2) 11,1,2,4,2(0,3,1,2)T,3(3,0,7,14)T,4(1,2,3,4)T.

T(3)

11,a,a2,a3,2(1,b,b2,b3)T,3(1,c,c2,c3)T,4(1,d,d2,d3)T,

T其中a,b,c,d各不相同. (4)

1(2,3,4,1)T,2(2,1,4,0)T,3(1,3,0,1)T,4(3,0,0,1),5(1,2,1,1)TT

解:(1)

41212r23r133r33r10921)r4(A2400501201

41210104r2r43349r2r00300040410142r4r032024120300241203914

因为 r(A)3,所以1,2,3线性无关.

(2)

11A241r3()r232r4()r2303130703002141000110r2r103r32r1244r1r013402311033rr340000100331201333001000013183

因为r(A)34,因此1,2,3,4线性相关.

(3)考虑齐次线性方程组x11x22x33x440 即

x1ax1 2ax13ax1x2bx2b2x2b3x2x3cx3c2x3c3x3x4dx4d2x4d3x400 (3—12) 00此方程组的系数行列式是范德蒙行列式,当a,b,c,d各不相同时有

1a D2a3a1bb2b31cc2c31d0 2dd3由克莱姆法则知,方程组(3—12)只有零解.从而1,2,3,4线性无关.

(4)由定理3.2.3知,5个四维向量必定线性相关. 例5设四维向量组

1(a11,a12,a13,a14),2(a21,a22,a23,a24),3(a31,a32,a33,a34) 线性无关,试证:在每个向量中添加一个分量,得到加长向量组

TTT1(a11,a12,a13,a14,a15)T,2(a21,a22,a23,a24,a25)T,3(a31,a32,a33,a34,a35)也线性无关.

证 因为1,2,3线性无关,所以相对应的齐次线性方程组

T

a11x1a21x2axax121222 a13x1a23x2a14x1a24x2a31x30a32x30a33x30a34x30 (3—13)

只有零解.考虑1,2,3相对应的齐次线性方程组

a11x1a21x2axax121222 a13x1a23x2a14x1a24x2a15x1a25x2a31x30a32x30a33x30 (3—14)

a34x30a35x30显然,方程组(3—14)的每一个解都是方程组(3—13)的解.而方程组(3—13)只有零解,所以方程组(3—14)也只有零解,故此1,2,3线性无关.

用同样的方法可把例5的结论推广到一般情形,即有

定理3.2.4:若n维向量组1,2,,m线性无关，则在每个向量中添加m个分量，得到的n+m维“加长”向量组1,2,,m也线性无关。

定理3.2.5:向量组1,2,,m(m≥2)线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可被其余向量线性表出.

证 必要性 已知向量组1,2,,m(m≥2)线性相关，由定义3.2.6知,有一组不全为零的数k1,k2,,km,使得 k11k22kmm0 不妨设km≠0,则有 kmmk11k22km1m1

即 mkk1k122m1m1 kmkmkm这说明m可以由其余向量线性表出.

充分性 已知向量组1,2,,m(m≥2)中至少有一个向量可被其余向量线性表出,

1k22km1m1 不妨设为m,即 mk11k22km1m1kmm0 移项得 k1,k2,,km1,1中至少有－1不为零,所以1,2,,m线性相关. 证因k1毕.

由定理3.2.5可推得下面定理:

定理3.2.6: 向量组1,2,,m(m≥2)线性无关的充分必要条件是其中任何一个向量都不能被其余向量线性表出.

习 题 3.2

1.设向量3,5,7,9, 1,5,2,0

(1)若α+γ=β,求γ; (2)若3α-2γ=5β,求γ. 2．将下列向量用其余向量线性表示：

（1）α1=(1，1，-1)T, α2=(1，2，1)T , α3=(0，0，1)T, β=(1，0，-2)T;

(2) α1=(1，1，1, 1)T, α2=(1，1，-1，-1)T , α3=(1，-1，1，-1)T, α4=(1，-1，-1，1)T

β=(1，2，1，1)T。

3．判断下列向量组的线性相关性：

（1）α1=(1，1，1)T, α2=(0，2，5)T , α3=(1，3，6)T； （2）α1=(2，-1，3)T, α2=(3，-1，5)T , α3=(1，-4，3)T

（3）α1=(4，3，-1, 1，-1)T, α2=(2，1，-3，2，-5)T , α3=(1，5，2，-2，6)T,

α4=(1，-3，0，1，-2)T。 4．试证：（1）若α1，α2，α3线性无关，则2α1+α2，α2+5α3，4α3+3α1线性无关。

（2）若α1，α2，α3线性无关，则α1，α1+α2，α1+α2+α3线性无关。

3.3向量组的秩

向量组的秩是一个向量组所具有的一种属性,它揭示了向量组中各向量之间内在关系.

它在线性方程组解的理论研究中起着重要的作用.

3.3.1等价向量组

等价向量组是指向量组之间存在的等价关系. 定义3.3.1:设两个向量组

A:1,2,,s; B: 1,2,,t

若组A中每一个向量i(i1,2,,s)都可由组B中的向量1,2,,t线性表示,则称向量组A可由向量组B线性表示.若向量组A与B可以互相线性表示,则称向量组A与向量组B等价(equivalence).

向量组的等价具有以下性质:

(1)反身性 每一个向量组都与自身等价. (2)对称性 若向量组A与向量组B等价,则向量组B与向量组A也等价.

(3)传递性 若向量组A与向量组B等价,又向量组B与向量组C等价,则向量组A与向量组C等价.

例如 向量组A:

11,1,3T,21,3,1T,31,4,0T

TT与向量组B: 11,2,2,20,1,1

有

112,212,3122.

1123,223

又有

所以向量组A与向量组B等价.

定理3.3.1: 若向量组1,2,,s中每一个向量都可由向量组1,2,,t线性表出,且t证 由条件设 ia1i1a2i2atit (i=1,2,…,s) 于是

k11k22kss k1(a111a212at1t)k2(a121a222at2t)

ks(a1s1a2s2atst)只要k1,k2,,ks满足齐次线性方程组

a11k1a12k2a1sks0akakak02112222ss  (3—15)

at1k1at2k2atsks0就有 k11k22kss0

而方程组(3—15)只有t个方程,故系数矩阵的秩不超过t(1,2,,s线性相关. 证毕.

推论:若向量组1,2,,s线性无关,且它可由向量组1,2,,t线性表出,则s≤t .

3.3.2极大线性无关组

任给一个向量组并不一定是线性无关的,但它可能含有一个部分组是线性无关的,而且这个组中的任何一个向量都可能被这个部分组线性表出,如: 向量组 11,TTT3,2,20,3,1,32,3,5

线性相关,而1,2线性无关,且有

1110220112 3212我们把1,2称为该向量组的一个极大线性无关组.

定义3.3.2:设向量组i1,i2,,ir是向量组1,2,,m的一个部分组,若它满足:

(1) 向量组i1,i2,,ir线性无关;

(2) 向量组1,2,,m中的每一个向量均可由向量组i1,i2,,ir线性表出; 则称向量组i1,i2,,ir是向量组1,2,,m的一个极大线性无关组，简称极大无关组(maximal independent system).

由定义3.3.2可得以下结论:

(1)当向量组中只包含一个零向量时,该向量组没有极大线性无关组.

(2)若一个向量组线性无关,则它的极大线性无关组就是它本身.

(3)任何一个含有非零向量的线性相关的向量组一定有极大线性无关组,且不一定是唯一的.

例如,上面的例子中1,3也是该向量组的极大线性无关组.

定理3.3.2:一个向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的,并且它们所含向量的个数都相等.

证 设向量组i1,i2,,ir与j1,j2,,js是向量组1,2,,m的两个极大线性无关组,由定义3.3.2知, i1,i2,,ir可由j1,j2,,js线性表出,因

i,i,,i线性无关,根据定理3.3.1的推论可知r≤s.同理,因j,j,,j也可

12r12s由i1,i2,,ir线性表出,且j1,j2,,js线性无关,所以有s≤r，于是r=s。又因为它们可以相互线性表出,故证毕.

定义3.3.3:向量组的极大线性无关组中所含向量的个数称为该向量组的秩(rank).矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩(column rank of a matrix),矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩(row rank of a matrix).

可以证得下面的结论:

矩阵的列秩=矩阵的行秩=矩阵的秩. 例1设向量组

12r12si,i,,i与j,j,,j等价.

1032113011 1,2,3,4,5,

21752421460求它的秩及极大线性无关组,并把其余向量用极大线性无关组线性表出.

解:对A12345实行初等行变换

11A24r3(1)r23r4(2)r43033017214030010 0021103r2r1033r32r11144r1r0115260022321(13)r21(1)r404330rr34000004402130102403211100100010 1010r12r3r2r3 00010031000101 1100所以向量组的秩为3，1,2,4为一个极大无关组，且

3312,5134

我们还可以证明：向量组中每一个向量由极大无关组的向量线性表示的表达式是唯一的。

这个证明留给同学们去完成.

习 题 3.3

1.求下列向量组的秩和它的一个极大无关组:

(1) α1=(2，1，1)T, α2=(1，2，-1)T , α3=(-2，3，0)T；

(2) α1=(2，1，3, -1)T, α2=(3，-1，2，0)T , α3=(1，3，4，-2)T, α4=(4，-3，1，1)T

2．求下列向量组的秩及其一个极大无关组,并把其余向量用极大无关组表示 ：

(1)α1=(1，-1，2, 4)T, α2=(0，3，1，2)T , α3=(3，0，7，14)T, α4=(1，-1，2，3)T (2) α1=(1，1，1)T, α2=(1，1，0)T , α3=(1，0，0)T, α4=(1，-2，-3)T 3.设向量组1,2,,r与向量组1,2,,r,r1,,s(s>r)有相同的秩,证明: 向量组1,2,,r与向量组1,2,,r,r1,,s等价.

*

3.4向 量 空 间

3.4.1向量空间的定义

定义3.4.1:设V为n维向量的集合,若集合V非空,且对于加法及乘数两种运算封闭,则称V为向量空间(vector space).

定义3.4.1中的封闭是指:若V,V,则V;若V,R,则

V.

例1 n维向量的全体R,就是一个向量空间,因为对于任意,Rn,都有

n

Rn , 对于任意Rn,R,都有Rn.故此,向量空间一般也记为R n.

定义3.4.2:设有向量空间V1,V2,若V1V2,就称V1是V2的子空间(vector subspace). 例2只有一个零向量构成的向量组,也是R的一个子空间,称为零子空间（null subspace）。R n和零子空间称为R n的平凡子空间（trivial subspaces）。

例3 对于向量组 Sa任意实数,由于21是R的向量子空间.

3.4.2向量空间的基与维数

定义3.4.3:设V为向量空间,若r个向量1,2,,rV,且满足: (1) 1,2,,r线性无关;

(2)V中任一个向量都可由1,2,,r线性表出,

则称向量1,2,,r为向量空间V的一个基(basis),r称为向量空间V的维数(dimension)，V称为n维向量空间（n—dimensional vector space）.

如果向量空间V没有基,那么V的维数为0,0维向量空间只含一个零向量.

若把向量空间V看作向量组,则V的基就是向量组的极大线性无关组, V的维数就是向量组的秩.

例4 在R

n

2

n

aa12aS,所以向量组S不2中,向量组e1,e2,,en是线性无关的,且它是R

n

的极大无关组,所以

e1,e2,,en是R n的一个基,从而R n的维数是n.

定义3.4.4:设向量1,2,,r为向量空间V的一个基,对任意的向量V,可唯一的表成

x11x22xrr

则数组(x1,x2,…,xn)称为向量关于基1,2,,r的坐标（coordinates）.

例5 验证向量组

120 11,21,30 0312 3

是R的一个基，并求向量1在该基下的坐标。

2 解：首先讨论向量组的线性相关性，因为

120120120r2010r010 r133r2 110031031001所以1,2,3是R的一个基。其次求坐标

3

12021r02r1(123)1101031201202r2r112r33r2(1)r3010100011021300100120112 0110所以有0123，故向量在基1,2,3下的坐标为（0，1，-1）.

例6 设,为两个已知的n维向量,集合

V{x|,R} 是一个向量空间.因为若x111,x222,则有

x1x2(12)(12)Vkx1(k1)(k1)V

这个向量空间称为由向量,所生成的向量空间（generated vector space）.

一般地,由向量组1,2,,m所生成的向量空间为

V{x1122mm|1,,,mR}.

2习 题 3.4

1.设V1{x(x1,x2,,xn)|x1,x2,,xnR满足x1x2xn0} V2{x(x1,x2,,xn)|x1,x2,,xnR满足x1x2xn1} 问V1,V2是否是向量空间?为什么?

2.试证:由向量α1=(0，1，1)T, α2=(1，0，1)T , α3=(1，1，0)T所生成的向量空间就是R3.

3.验证α1=(1，-1，0)T, α2=(2，1，3)T , α3=(3，1，2)T为R3的一个基,并把β1=(5，0，7)T, β2=(-9，-8，-13)T 用这个基线性表示 。

3.5线性方程组解的结构

3.5.1齐次线性方程组解的结构 对于齐次线性方程组 (3—5):

a11x1a12x2a1nxn0axaxax021121222nn am1x1am2x2amnxn0或 AX0

它的每一组解都是一个向量，称之为解向量(solution vector)。解向量具有如下的性质：

（1）若X1是AX=0的一个解向量，kR,则kX1仍为AX=0的解. 证 A（kX1）= k（AX1）= k0=0， 证毕. （2）若X1，X2都是AX=0的解，则X1+X2仍是AX=0的解。

证 A（X1+X2）=AX1+ AX2=0+0=0。 证毕. 若用S表示齐次线性组(3—5)的全体解向量所成的集合，由上述性质可知，集合S对

向量的线性运算是封闭的，所以集合S是一个向量空间，称为齐次线性方程组(3—5)的解空间（solution space）。

对齐次线性方程组(3—5)的解空间我们可求它的一个基：

设系数矩阵A的秩为r，则经过若干次初等行变换，总可把A化为简化阶梯形矩阵

100c1r1c1n010c2r1c2n001crr1crn 0000000000由定理3.1.1知,矩阵对应的方程组

x1c1r1xr1c1nxnx2c2r1xr1c2nxnxrcrr1xr1crnxn与方程组(3—5)同解,即有

x1c1r1xr1c1nxn x2c21r1xr1c2nxn

xrcrr1xr1crnxn自由未知数xr1,,xn取任意常数t1,tnr,得其通解

x1c1r1t1c1ntnrx2c21r1t1c2ntnrccxrrr1t1rntnrx r1t1xr2t2xntnr00

0写成其向量形式

c1nc1r1c1r2x1cccx2n2r12r22xcccr t1rr1t2rr2tnrrn 010xr1001xr2xn001若令

c1nc1r1c1r2x1cccx2r12r22n2xcccrX,1rr1,2rr2,,nrrn

x010r1001xr2xn001则通解表示为 Xt11t22tnrnr.

其中 1,2,,nr 是线性无关，且由于t1,tnr的任意性，知方程组(3—5)解空间的任意一个解都可由1,2,,nr线性表出，所以1,2,,nr就是方程组(3—5)解空间的一个基,这个基就称为方程组(3—5)的一个基础解系。

定义2.5.1：设1,2,,t是齐次线性方程组(3—5)的一组解,如果 (1) 1,2,,t线性无关;

(2) 齐次线性方程组(3—5)的任一个解都可由1,2,,t线性表出,

则称1,2,,t为齐次线性方程组(3—5)的一个基础解系（basic system of solutions）。 由上述的推导过程可得:

定理3.5.1：在齐次线性方程组(3—5)有非零解时(r(A)例1 求方程组

x1x2x3x40 x1x2x33x40

xx2x3x02341的通解和基础解系.

解：利用矩阵的初等变换将系数矩阵化成简化阶梯形矩阵

1rr111111121r003r1A1113243211200111111101r00123r10012000000001r3r221r22

对应一个与原方程组等价方程组 x1x2x40x1x2x4 即  （其中x2，x4为自由未知数）

x32x40x32x4x210取取两个二维向量,代入方程得基础解系

01x41110 1,2

0201x111x102 所以通解为 t1t2,

x30201x4或表示为 Xt11t22，（t1，t2为任意常数）。 本例题也可用3.1节例5的解法来解.

3.5.2非齐次线性方程组解的结构 对于非齐次线性方程组(3—1)

a11x1a12x2a1nxnb1axaxaxb2112222nn2 

am1x1am2x2amnxnbm或 AX=B

它的解具有下述性质:

(1)若X1，X2都是AX=B的解，则X1―X2是AX=0的解。

证 A（X1―X2）=AX1― AX2=B―B=0。 证毕. (2)若X0为AX=B的解,X1为AX=0的解,则X0X1必为AX=B的解.

证 A(X0+X1)=AX0+AX1=B+0=B。 证毕.

定理3.5.2：设X0是非齐次线性方程组(3-1)的一个特解,X*是非齐次线性方程组(3—1)所对应的齐次线性方程组(称为导出组) AX=0的通解,则非齐次线性方程组(3-1)的通解可表示为

X=X0+X*

证 因AX=B, AX0=B,由性质(1)知X―X0是AX=0的任意一个解. 令 X*= X―X0

故 X=X0+X* 。 证毕。

例2 求方程组的通解

x1x2x3x40 x1x2x33x41

xx3x5x12341解:对增广矩阵进行初等行变换

10rr1111011121r003r1A1113124151411130021101r3r2111101r21r1r22001200122000000000可见，r(A)r(A)2，故方程组有解，并可得与原方程组同解方程组

1 212011xxxxx2x424112 即2  （其中x2，x4为自由未知数）

11x32x4x32x422取x2=t1，x4=t2 （t1，t2为任意常数），得通解

11xttx1111212x210x2t120 写成向量形式t1t2。 1x3102x32t222x0140xt241112100而向量 X0是原方程组的一个特解。1,2是其导出组的一个基础解

1022010系。

故所求通解也可表示为 XX0t11t22 （t1，t2为任意常数）。

习 题 3.5

1．求下列齐次线性方程组的一个基础解系和它的通解：

3x12x25x34x402x14x25x33x40 （1）3x1x23x33x40 （2）3x16x24x32x40

3x5x13x11x04x8x17x11x0234234112x15x2x33x43x4x2xx1234 （3）x12x2x33x42x115x26x313x400 00