常用微分公式

(甲)基本函数的微分公式 (1)

dxndxdc11dnx1nx,nN1ndxn =nx，nN 。 (2)。

(3)

dx =0，其中c为常数。(4)(sinx)/=cosx (5)(cosx)/=sinx

/1nn(x)1 n/n另一种表示： (x)=nx =x  (c)/=0

1

1n证明：

n(2)设a为f(x)=x定义域中的任意点，

则f /(a)=

limf(x)f(a)

xaxa

n =xa1limnxnaxnan1n2nn1nnnnlimnxa=xa(xa)[(x)(x)a....(a)]

n1nn(a) ==(a1

1nnnn)= (a)

1

11n ~1-3-1~

(4)设a为任意实数，f(x)=sinx

xaxacos22xa

f(x)f(a)xasinxsina= =

xa2sin计算f /(a)=

limf(x)f(a)limxa2sinxa=xa(

xaxacos22xa)=cosa。

(1)(3)(5)自证

(乙)导数的四则运算 (1)f(x)与g(x)为可微分的函数。f(x)+g(x)为可微分的函数。

且

ddx(f(x)+g(x))=

ddx(f(x))+

ddx(g(x))成立。

另一种表示：(f(x)+g(x))/=f /(x)+g/(x)

证明：令h(x)=f(x)+g(x)，设a为h(x)定义域中的任一点

f(x)g(x)f(a)g(a)h(x)h(a)limlim/xaxa h(a)= =xa xa ~1-3-2~

=xa(

limf(x)f(a)

xa +

g(x)g(a)xa)=xa(

limf(x)f(a)

xa)+xa(

limg(x)g(a)

xa)

=f /(a)+g/(a)

d53(xx)例：求dx？

推论：

dxddf(x)df1(x)df2(x)ndxdx (f1(x)+f2(x)+...+fn(x)) = dx(2)设f(x)为可微分的函数。cf(x)为可微分的函数。

且

ddx(cf(x))=cdf(x)dx，特别c= 1时，

ddx(f(x))=

df(x)dx。

ddf(x)dg(x)(f(x)g(x))dxdxdx，另一种表示：(f(x)g(x))/=f /(x)g/(x) (3)

(4)

ddx(c1f1(x)+c2f2(x)+...+cnfn(x))= c1

ddx(f1(x))+c2

ddx(f2(x))+...+cnddx(fn(x))

例如：(1)

ddx (anxn+an1xn1+...+a1x+a0)

5 (2)(3x52x3+4x)/ =？

~1-3-3~

例題1](5)f(x)，g(x)为可微分的函数。f(x)g(x)为可微分的函数。

且

ddx(f(x)g(x))=

ddx(f(x))g(x)+f(x)

ddx(g(x))

另一种表示：(f(x)g(x))/=f /(x)g(x)+f(x)g/(x)

证明：

d例如：试求dx((x2x3)(3x22x1))?

下面我们要推导例2的一般情形：

d(a)dx(ffdf1(x)df2(x)df(x)1(x)f2(x)3(x))=dxf(x)2f3(x)f1(x)f3(x)f1(x)f2(x)3dxdxd(b)dx(ffdf1df1f2n)dxf2fnf1f2ndx(逐次轮流微分) df((f(x))nn(f(x))n1df(x)(c)如果f1f2nf，则可得dxdx 例如：试求(x22x3)5的导数。

dxr证明dxrxr1,rQ。

~1-3-4~

[

例題2]例題3](6)若f(x)，g(x)在x=a可微分，且g(a)0，

d则dx(f(x)f/(a)g(a)f(a)g/(a)g(x))|xa(g(a))2。

f(x)/因此可得：(/f(x)g(x)f(x)g/(x)g(x))(g(x))2

若f(x)=1，则(

1

g(x)

)/=

1(g(x))2g/(x)

x21例如：试求x2x1的导函数。

例如：求(

1

x2+x+1

)/=？ dxrrxr1例如：设r为负有理数，证明dx。

dxrdxrxr1结论：若设r为有理数，则。

求下列各函数的导函数：

(1) (x2+2x)(x2+3x+2) (2) (x2)3(x21) ~1-3-5~

4)(x+3)

[

(3)(x2+x+1)(4x3+x[

[例題4]

(x+1)2

(3) (4) x3+2x+1(x1)3

Ans：(1)4x3+15x2+16x+4 (2)(x2)2(5x24x3)

(3)(2x+1)(4x3+x4)(x+3)+(x2+x+1)(12x2+1)(x+3)+ (x2+x+1)(4x3+x4)

3

[例題5]

[例題6]

[例題7]

(4)

(5)(x3+2x+1)2

3(3x2+2)(x+1)(x+5)(x1)4

[例題8]

请利用(sinx)/=cosx，(cosx)/=sinx的结果证明： (tanx)/=sec2x，(secx)/=secxtanx 试求下列的导函数：

[例題9]

[例題10]

(練習1.)

(1)x36x2+7x11 (2)(x3+3x)2(2x+1) (3) (x+1)(2x2+2)(3x2+x+1)

(4)(2x3+x+1)5

(練習2.)

Ans：(1)3x212x+7 (2)2(x3+3x)(3x2+3)(2x+1)+2(x3+3x)

(練習3.)

(3) (2x2+2)(3x2+x+1)+(x+1)(4x)(3x2+x+1)+ (x+1)(2x2+2)(6x+1)

(練習4.)

(4) 5(2x3+x+1)4(6x2+1)

~1-3-6~

(練習5.)

求下列各函数的导函数。

(練習6.)

(1)f(x)= (2)f(x)= (3)f(x)=

2x2+x+3x2+3x+14x3+3x2+2x+1

1

x3+x+13x1

(4)f(x)=

(練習7.)

(練習8.)

(練習9.)

x3+2x+1

Ans：(1)

2x4+2x3+7x24x+2

(2x2+x+3)2

(2)

3x2+3(x2+3x+1)2

(3)

1

(4x3+3x2+2x+1)2

(12x2+6x+2) (4)

3x22(x3+2x+1)2

d(cotx)csc2d证明dxx，dx(cscx)cscxcotx

(丙)连锁法则 (1)合成函数：

(a)设f(x)x2x1,g(y)3y，则

g(f(x))3x2x1。 xfx2x1g3x2x1，(gf)(x)3x2x1

所以(gf)(x)为x的函数。

~1-3-7~

例題11]例題12](b)gffg

d(2)连锁法则：既然(gf)(x)为x的函数，我们就可以讨论dx(gf)(x)?

例： 设f(x)x22,g(x)y3，则(gf)(x)g(f(x))(x22)3

d 利用dx((f(x))nn(f(x))n1df(x)dx，可得 d dx((x22)3)3(x2)22xd=dyg(y)|df(x)yx22dx 上式并不是巧合，一般的情形亦是如此。

定理：(连锁法则 Chain Rule)

若f(x),g(y)都是可微分的函数，则合成函数(gf)(x)亦可微分，

d 而且dx((gf)(x))dg(y)dy|df(x)yf(x)dx或(gf)/(x)g/(f(x))f/(x)。

求

(3x2x1)/？ 一般情形：nN，f(x)可微分，求(nf(x))/=?

求f(x)=sin2x的导函数。Ans：2sinxcosx

~1-3-8~

[

[

[例題13]

[例題14]

[例題15]

[例題16]

[例題17]

(練習10.)

(練習11.)

(練習12.)

(練習13.)

(練習14.)

(練習15.)

求下列函数的导函数： (1)

f(x)tan3x

(2)f(x)csc5x

(3)f(x)tan1x2

xsec21x2Ans：(1)3tan2xsec2x (2)5csc5xcot5x (3)

1x2

设n为正整数而f(x)为可微分的函数，试用连锁律去计算(f(x))n的导函数。Ans：n(f(x))n1f /(x)

求d

dx

(5(x43x2x5)=？Ans：1 (x43x2x5)455

(4x3+6x1) x1)3(x2x1)2/2(2? Ans：33x2x1

求下列各小题y/

(1)yxsinx (2)

ycos3x (3)y5cos(2x1) ~1-3-9~

(練習16.)

2ysinxcos4xy1sinx (4) (5)

(練習17.)

2Ans：(1)sinxxcosx (2)3cosxsinx (3)10sin(2x1) (4)cosxcos4x4sinxsin4x

sinxcosx2(5)1sinx

(練習18.)

(練習19.)

(練習20.)

(練習21.)

(練習22.)

例題18]

(練習23.)

计算下列各小题：

(1)(x2x1 )/=？ Ans：

3x12x1

(2)

d2x+1

6x23

dx(3x5)=？ Ans：2

3x5(3x5)

(3)求f(x)=

x2+13x+1

的导函数。 Ans：f /(x) =

x3

(3x+1)2

x2+1

设可微函数f(x)满足f(

x1x+1

)=x，则f /(0)=？ Ans：2

/x试求4x1？ 14x试求3x1的导函数。 Ans：44x3(3x1)5

~1-3-10~

[(練習24.)

(練習25.)

(練習26.)

(練習27.)

例題19]

(練習28.)

(練習29.)

(練習30.)

(練習31.)

(練習32.)

x2x21求f(x)=2xx21的导函数。 Ans：f /(x)=

22xx21x21 f(x)42xx132742，求f /(3)=？ 32

设y=(x+1+x2)10，试求

dy

=？ Ans10dx

：1+x2

(x+1+x2)10

求斜率为2，而与曲线y=f(x)=111

3x32x2+3

相切之直线方程式。

Ans：4x2y+3=0，2xy3=0

求过曲线y=f(x)=1

3

x3+x22的点，而斜率最小的切线方程式。

Ans：y+4

3

=(1)(x+1)

求通过y=x33x24x1上x=1处之切线与法线方程式。

Ans：7x+y=0，x7y50=0

函数f(x)=x21

x2+x+1

的图形上以(0,1)为切点的切线斜率为 。Ans：1

~1-3-11~

[[例題20]

设拋物线y=ax2+bx+c与直线7xy8=0相切于点(2,6)，而与直线xy+1=0相切， 求a,b,c之值。 Ans：a=3,b=5,c=4 (85 日大 自然)

直角坐标上，给定一曲线：y=x33x2，自点P(2,5)向所作的切线方程式。 Ans：3x+y1=0，15x4y50=0

15过原点且与曲线y=x33x21相切之直线方程式。Ans：y=3x，y=x。

4

[例題21]

[例題22]

[例題23]

[例題24]

(練習33.)

设拋物线y=ax2+bx+c过点(1,1)，且与直线xy=3相切于(2,1)。求a,b,c 之值

(練習34.)

Ans：a=3，b=11，c=9

[例題25]

设a,b,c为实数，已知二曲线y=x2+ax+b与y=x3+c在点A(1,2)处相切，L为两

曲线在A点的公切线，试求(1)a,b,c (2)求L的方程式。

Ans：(1)a=5，b=2，c=1 (2)3x+y1=0

拋物线：y=p(x)的对称轴平行于y轴，且与x轴交于点(2,0)，并在x=1时与函数

[例題26]

[例題27]

y=x4+1的图形相切，试求p(x)=？ Ans：p(x)=6x2+16x8

(練習35.)

求y=x33x，y=x33x+32两曲线的公切线方程式。Ans：9xy+16=0

~1-3-12~

(練習36.)

综合练习 1.

1x3x5y2f(x)dy14x11x ，求=? (2)(1)，求f /()=？(3)f(x)=x3(x3+5x)10，求f /(x)

3dx2

2.

Ans：(1)

dydx33x512x240x324x2149343x5x33x565x3 (2) (3)

9

3.

(2x1)4x225f(x)2f(x)(2)2553f(x)(x1)(x1)x1求下列各函数的导函数：(1) (2) (3)

4.

2422310x(x2)10x(x1)'f(x)f'(x)26(x1)3Ans：(1)(2)

5.

(2x1)3(810x12x2)f(x)26(x1) (3)

'6.

试求下列个函数的导函数：(1)f(x)sinx (2)

f(x)cosx(2x2(3)

)f(x)tan1x

22232f(x)sin(x)f(x)tanxsecx f(x)sin(x1)(4)(5) (6)

7.

sin2xf(x)2f(x)1cosxcosx (7) (8)

cosx8.

sinxAns：(1)2x(2)2cosx(3)

1x2sec212x(4)2xcos(x1)

~1-3-13~

sin2x9.

23326xsin(x)cos(x)21cosx (8)sinxsec2xsinx (5) (6)0 (7)

10.

2f(x)ax1，若f /(1)=2，则a=? (1)设

11.

(2)设

f(x)2x113

3x5，则f /(2) =? Ans：(1)2 (2)

10

5

12.

dy3222yu46x(x2)(x1) dxux2x设，，求=? Ans：

13.

22f(x)(x1)求在(1,0)的切线方程式与法线方程式。Ans：y=0,x=1

14.

x2y3xx1在x= 1处之切线方程式。Ans：2x+y+3=0 曲线

15.

设f(x)=x3+ax2+b，a,bR，若y=f(x)之图形通过点(1,4)且在此点的斜率为3，则求a,b 之值

为何? Ans:a=3,b=6

16.

13

若直线y=x与曲线y=x33x2+ax相切，试求a=? Ans：a=1或 4

17.

过点

(2,21)yx3x3，且与曲线3相切的直线有几条?其斜率分别为何?

18.

Ans：(1)3 (2)0，323

~1-3-14~