二次函数与几何综合典题 含答案详解

例1．已知抛物线yaxbxc(a0)的顶点坐标为（3，-2），且与x轴两交点间的距

离为4，求其解析式。

例2.已知二次函数yaxbxc(a0)的图像与x轴交于不同的两点A、B，点A在点B 的左边，与轴交于点C，若△AOC与△BOC的面积之和为6，且这个二次函数的图像的顶点坐标为（2，-a），求这个二次函数的解析式。 例3.已知二次函数yaxbxc(a0)的图像过点E（2，3），对称轴为x＝1，它的图像与x轴交于两点A(x1,0),B(x20)且x1＜x2,x1x210。

（1）求二次函数的解析式；

（2）在（1）中抛物线上是否存在点P，使△POA的面积等于△EOB的面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

例4.如图，抛物线yaxbxc(a0)与x轴、y轴分别相交于A（-1，0）、B（3，0）、C(0，3)三点，其顶点为D。

（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）求四边形ABDC的面积；

（3）试判断△BCD与△COA是否相似？

若相似写出证明过程；若不相似请说明理由。

例5：如图，已知抛物线l1:yx4的图像与X轴交于A、C两点。 （1）若抛物线l2与l1关于x轴对称，求l2的解析式；

（2）若点B是抛物线l1上一动点（B不与A,C重合），以AC为对角线，A，B，C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点记为D，求证：点D在l2上；

（3）探索：当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值或最小值？若存在，判断它们是何种特殊平行四边形并求出它的面积；若不存在，请说明理由。

例6.如图，已知：m，n是方程x6x50的两个实数根，且m＜n，抛物线yxbxc的图像经过点A（m，0）、B（0，n）。

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D。试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；

（3）P是线段OC上一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点坐标。

222222222答案：

4ab2b2， 1．根据题意得：3，

4a2ab4c1x1x2(x1x2)24x1x2()24。联立以上三式得：a，b3，

aa25125。∴抛物线解析式为：yx3x。 222另解：由顶点坐标（3，-2）可知，对称轴为：x3，又与x轴两交点间的距离为4，∴两c交点坐标分别为（1,0）、（5,0）。设表达式为ya(x1)(x5)，代入顶点坐标得：

2a(31)(35)，解得：a1125，∴yx3x。 222※2.顶点坐标（2，-a）代入顶点坐标公式得：

ya(x2)2aax24ax3aa(x24x3)a(x1)(x3)，（太好了，一箭三

雕！）

∴c3a，点A、点B的坐标分别为：（1,0）、（3,0），∴AB=2. ∵

3a33a26，∴a1，

22∴这个二次函数的解析式为yx4x3或yx4x3。 3．（1）由题意知：34a2bc①，b1②， 2ab22c222又x1x2(x1x2)2x1x2()10③。

aa联立①②③式可得：a1,b2,c3，∴解析式为：yx2x3

（2）存在这样的点P。由（1）可知yx2x3(x3)(x1)(x1)4，∴点A的坐标为（1,0），点B的坐标为（3，0），顶点坐标（1，4）。

设点P的坐标为（t，t2t3），则△POA的高为t22t3，底边OA=1。 △EOB的底边为3，高为3，∴△EOB的面积=令

22221933。 22191t22t3， 2222∴t2t39，∵9＞4，∴t2t3=9，解得：t113或113。

∴点P的坐标为（113，9）或（113，9）.

4．（1）设抛物线的解析式为ya(x3)(x1)，代入点C的坐标（0，3）得：

3a(03)(01)，解得：a1。∴解析式为y(x3)(x1)x22x3。

（2）由（1）可知yx2x3(x1)4，∴点D的坐标为（1,4）. 作DE⊥AB，垂足为E，则点E的坐标为（1,0）。 ∴四边形ABDC的面积=S△AOCS梯形OCDES△BDE（3）△BCD与△COA相似。理由如下：

由A、B、C、D四点的坐标可得：OA=1，CO=3，CA=13210； BC=OC2OB2323232，CD=(43)212BD=(31)24225。∵

2211（34）113249。 2222，

BDBCCD2，∴△BCD∽△COA。 CACOOA225．（1）∵l2与l1关于x轴对称，∴y(x4)x4。

（2）设点B的坐标为（m,m4），∵四边形ABCD为平行四边形，点A、C关于原点O对称，∴点B和点D关于原点O对称，∴点D的坐标为（m,m4）。代入l2的表达式可知左边等于右边，∴点D在l2上。

（3）∵点A、C是抛物线yx24与x轴的交点，∴点A、C的坐标分别为（2,0）和（2,0），∴AC=4. 平行四边形ABCD的面积=2△ABC的面积=22214y14y1。 2①当点B在x轴上方时，S四边形ABCD4y1，S四边形ABCD随y1的增大而增大， ∴此时S四边形ABCD既没有最大值也没有最小值；

②当点B在x轴下方时，S四边形ABCD4y1，且4y1＜0，S四边形ABCD随y1的增大

而减小，S四边形ABCD有最大值没有最小值。∴当y1取最小值4时，S四边形ABCD有最大值，最大值为16；此时点B、D在y轴上，AC⊥BD，平行四边形ABCD是菱形。 综上所述，当点B在x轴下方时，平行四边形ABCD有最大面积16，此时的四边形为

菱形。 6．（1）解方程x6x50得：x11,x25，∵m＜n， ∴m1,n5，∴点A、B的坐标分别为（1，0），（0，5）。把A、B

21bc0的坐标代入yxbxc得：解这个方程组，得b4,c5，

c52抛物线的解析式为yx4x5。

2（2）由（1）知yx4x5(x2)9，∴点D的坐标为（2，，抛物线9）对称轴为直线x2，∴点C的坐标为（5，。 0）

由点B、C的坐标可知直线BC的表达式为yx5，过点D直线DE，交直线BC于点E（如图1），则点E的坐标为（2,3），∴线段DE=6， △BCD的面积=

2211DE(xBxC)6515. 22（3）如图2，设点P的坐标为（t，0），则点H的坐标为 （t，t4t5），若HP与直线BC交于点F，点F的坐标 为（t，t+5）。若S△HCF:S△PCF2:3，则S△PCF即

23S△PCH， 51313PCPFPCPH，∴t5(t24t5)， 252522解得：t1,t2（舍去）；若S△HCF:S△PCF3:2，则S△PCFS△PCH， 53523。 t5(t24t5)，解得：t1,t2（舍去）5522综上所述，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，则点P的坐标为（,0）

33或（,0）

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