高等代数复习题

一、 填空题

1．多项式f(x)x2x2x1与g(x)xx2xx1的最大公因式为_____。

32432

200022.多项式 f(x)4(8x7)xx22001(5x58x22)2002 的所有系数 之和= ， 常数项 。 313. 设矩阵A，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足AB3BE，则B=

13 .

4. 已知AT，其中(2,1),(1,2)，求A5_________。 5. 设A,B都是n阶可逆阵，A2,B3，则2A*B1_________。

6. A 是 3阶方阵，2、4、6是A的3个特征值，E是3阶单位矩阵，则 A-2E的行列式

|A-2E|=________。

In7. A0B，则A1_________。 In8. 已知a是数域P中的一个固定的数，而

是Pn1W{(x1,,xn,a)xiP,i1,2,,n}的一个子空间，则a＝ ，而维(W)＝ . 9. 设A是线性空间P3[x]的线性变换,满足: Af(x)f(x1),则A在基1,x,x2下的矩阵为______

10. 当t 时，向量组(1,2,3),(1,t,1),(1,1,t)线性相关.

二、选择题：

1．设非零的r1(x),r2(x), 分别是以g(x)(0)除f1(x)与f2(x)所得的余式,

且r1(x)r2(x), 则 ( )

a) (r1(x)r2(x))max((r1(x)),(r2(x))); b) (r1(x)r2(x))min((r1(x)),(r2(x)));

c) 若(r1(x))(r2(x)), 则(r1(x)r2(x))(r2(x)). d）若(r1(x))(r2(x))k, 则(r1(x)r2(x))k.

2. 若A是n阶可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵，则|A|为 （ ）

n（A）|A||A*|; (B) |A||A*|; (C) |A||A*|1n1; (D) |A||A*|n1。 ）

3. 设A,B为n阶方阵，E为n阶单位阵，则以下命题中正确的是 （

(A) (AB)2A22ABB2;

(B) A2B2(AB)(AB); (C)

(AB)2A2B2;

(D) A2E2(AE)(AE).

114. 若A12 （ 5是正定矩阵，则 12(A)是任意数 ; (B) 045; (C) 45445; (D) 50. 5. 设f(x)是数域P上的多项式, （ ）a) 若f(x)在P上可约,则f(x)在P中必有根；

b) 若f(x)在P上可约, 且(f(x))1,则f(x)在P中必有根； c) 若f(x)在P上不可约,则f(x)在P中无根； d) 若f(x)在P上不可约,且(f(x))1,则f(x)在P中无根.

6. 设A、B是 n 阶矩阵， 如果AB=0，则（ ）

a） |A|=0、|B|=0， b）|A|=0 或 |B|=0，

c） R（A）+R（B）<0， d）A、B中至少有一个是0矩阵。 7. 设a1,a2,,a,均为n维列向量，A是mn矩阵，下列选项正确的是（ （A）若a1,a2,,a,线性相关，则Aa1,Aa2,,Aa,线性无关. （B）若a1,a2,,a,线性相关，则Aa1,Aa2,,Aa,线性相关.

（C）若a1,a2,,a,线性无关，则Aa1,Aa2,,Aa,线性无关. （D）若a1,a2,,a,线性无关，则Aa1,Aa2,,Aa,线性相关.

8. 设 1,2,,n是欧氏空间V的一组基，A是V的线性变换，则 （ ）

）

） a) A1,A2, b) 1,2, c) 1,2,,An线性无关；

,An也是标准正交基；

,n是V的标准正交基，则 A1,A2,,n是V的标准正交基，则其度量矩阵为E；

,An 是V的标准正交基，则A是正交变换。

d) A1,A2,1109. 已知三维欧式空间V中有一组基1,2,3，其度量矩阵为A122，则

023向量21323的长度为 （ ） (A) -1; (B) 0; (C) 1; (D) 2 .

10. 若线性方程组的方程个数m小于所含的未知量个数n, 则这个方程组 （ ）

a) 一定没有解; b) 一定没有解;

c) 一定有无限多解; d) 不可能有唯一解.

三、计算题

1. a, b取什么值时，非齐次线性方程组

x1x2x3x4x513x12x2x3x43x5a  x22x32x4x535x4x3x3xxb23451有解？在有解的情形，求一般解。

2. 已知非齐次线性方程组

x1x2x3x414x13x25x3x41 axx3xbx12341有3个线性无关的解

(1).证明方程组系数矩阵A的秩RA2； (2).求a,b的值及方程组的通解。 3. 设线性方程组

x1x2x3x40x1x2x3x40(1)  与 (2) 

xx0xx01434 的解空间分别是V1与V2，求V1＋V2的基与维数。

4. 求一正交矩阵P，将下列二次型化成标准型

2f(x1,x2,x3,x4)x12x1x22x3x4。

0225. 设实数域上3阶方阵A244, 求正交矩阵T, 使T'AT为对角阵, 并写出该

243对角阵.

10111875426. 设 A011， f(x)2x2x8x3xx17x4, 求矩阵

010f(A) 的逆矩阵。

7. 设1,,m是维欧氏空间

的一组向量，而

(1,1)(,)m1称为1,(1,m)

(m,m),m为基，则为度量阵。证明：1,,m线性无关

,m的Gram阵，当1,当且仅当0.

8. 设 A1232f(x)x2x5, 求矩阵f(A) 的逆矩阵。 ， 1029. 设P[x]3 中向量组1x3,22x,31x,4x， 求L(1,2,3,4)的一个基及维数,并求在这组基下的坐标。

四、证明题：

1.设是n维欧氏空间V的对称变换, V, 且1。求证:

(1)

()2()；

22(2) 当且仅当是的属于特征值()的特征向量时, (1)中等号成立.

22. 设 f(x)为数域P上的多项式，且f(x)f1(x)f2(x), (f1(x),f2(x))1, 又设V

为P上的n 维线性空间， T为V的一个线性变换。求证：

Kerf(T)Kerf1(T)Kerf2(T)(Kerf(T)表示线性变换f(T)的核)。