...满足f(-1)=0,且x≤f(x)≤1/2(x^2+1)对一切实数x恒成立.
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发布时间：2024-09-28 10:55
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时间：2024-10-03 12:33
1.（1）解：设f(x)=ax^2+bx+c
f(-1)=0
当 x=1时，x=1/2(x^2+1)此时可得f(1)=1
联立两个方程可得b=1/2,a+c=1/2
将a b c代入方程，得ax^2+1/2x+1/2-a<=1/2(x^2+1)恒成立，得到{a-1/2<0,判别式<0}解方程组刚好能得到a=1/4,于是c=1/4
故得到f(x)=1/4(x+1)^2
(2）放缩：1/n^2>1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1)根据通项依次放缩，最后一整理即可得到结论
2.设公差是d，公比是q，
x=a+d=cq
y=a+2d=cq^2
于是a+b=x+y=cq+cq^2
c+d=c+cq^3
于是(c+d)-(a+b)=c(q^3-q^2-q+1)=c(q-1)^2*[(q+1)]
由于x>0,y>0,故知等比数列公比q>0,且c>0,于是上式(c+d)-(a+b)=c(q^3-q^2-q+1)=c(q-1)^2*[(q+1)]>0故a+b<c+d
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时间：2024-10-03 12:33
1<=f(x)<=1
其他忘了~
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时间：2024-10-03 12:29
解：(1)由x≤f(x)≤1/2(x^2+1)可只，当x=1/2(x^2+1)时，x=1，且此时f(x）=1，所以二次函数f(x)过点（1，1）。又设二次函数f(x)=aX^2+bX+c,f(x)'=2aX+b，f(1)'=2a+b=1。已知f(-1)=0，由上述三个条件，可解得a=1/4,b=1/2,c=1/4.
所以所求的f(x)=1/4X^2+1/2X+1/4=（x+1)^2/4
(2)1/f(1)+1/f(2)+...+1/f(n)=[1/2^2+1/3^2+1/4^2...+1/(n+1)^2]/4
>{1/(2*3)+1/(3*4)+1/(4*5)...+1/[(n+1)(n+2)]}/4
={1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5...+1/(n+1)-1/(n+2)}/4
=2n/n+2
即证
（3）已知x>0,y>0.x≠y,a、x、y、b成等差数列
a+b=3/4
c、x、y、d成等比数列
则x/c=y/x 解得x=1/3,y=4/9
公比=4/3,所以d=4/9*4/3=16/27
c+d=91/108
所以c+d>a+b
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时间：2024-10-03 12:32
x≤f(x)≤1/2(x^2+1)中的1/2(x^2+1)是1/（2(x^2+1)）呢，还是(x^2+1)/2呢？
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时间：2024-10-03 12:28
不会
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时间：2024-10-03 12:29
(1)二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图像经过点（-1，0），
则a-b+c=0
假设存在常数 a ，b，c，使x<=ax^2+bx+c<=0.5*(1+x^2）对一切实数都成立.
将a+c=b代入x<=ax^2+bx+c及ax^2+bx+c <=0.5*(1+x^2）得：
0<=ax^2+(a+c-1)x+c及（a-0.5）x^2+（a+c）x+c-0.5 <=0
则有0<a<0.5及（a+c-1)^2-4ac<=0及（a+c）^2-4（a-0.5）(c-0.5 )<=0
或者a=0，c=1不符合要求
或者a=0.5，c=-0.5不符合要求
所以问题关键在于0<a<0.5及（a+c-1)^2-4ac<=0及（a+c）^2-4（a-0.5）(c-0.5 )<=0是否a有解。
（a+c-1)^2-4ac<=0即为（a-c）^2-2（a+c）+1<=0……（1）
而（a+c）^2-4（a-0.5）(c-0.5 )<=0即为（a-c）^2+2（a+c）-1<=0……（2）
由（1）（2）得：（a-c）^2=0
2（a+c）-1=0
即a=c=0.25满足要求,此时b=0.5
f(x)=0.25x^2+0.5x+0.25
(2)将1，2，，，，n分别代入，有
左式=4/4+4/9+4/16+4/25+,,,+4/(n+1)^2
(3)设公比为q,因为a、x、y、b成等差数列，且b>a,所以y>x,q>1,继续
c,x,y,d可以写成c,qc,c*q^2,c*q^3
因为x+y=a+b=3/4
即有qc+c*q^2=3/4,c+d=c+c*q^3
c=3/4(q+q^2),所以c+d=3(1+q^3)/4(q+q^2)
(a+b)/(c+d)=(q+q^2)/(1+q^3)=q(1+q)/(1+q)(1-q+q^2)=q/(1-q+q^2)
分子分母同除以q,有(a+b)/(c+d)=1/(1/q+q-1)
而q+1/q>2根号(q*1/q)=2(不能取等号是因为q不等于1)
此时知分母>1,所以(a+b)/(c+d)<1,知a+b<c+d
补充一下，刚才以为最后一问也属于第一题，不过现在看清了，是的一题，不过也可以按照我这种方法求解，雷同。
