(1)已知数列an满足an=1,an=3^(n-1)+a[n-1](n>=2),求证an=(3^n-1...
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已知数列{an}满足a_1=1,a_n=[3^(n-1)]+a_(n-1)(n≥2），
证明：a_n= (3^n-1)/2
证明：
采用数学归纳法
当 n = 1,
已知 a_1 = 1
求证的 a_1 = (3^1 - 1)/2 = 1 满足求证
当 n = 2,
根据已知 a_2 = 3^(2-1) + a_(2-1) = 3 + a_1 = 3 + 1 = 4
验证求证 a_2 = (3^2 - 1)/2 = 4 满足求证
那么假设n = k 的时候求证成立
a_k = (3^k - 1)/2
那么 当 n = k + 1的时候
a_(k + 1) = 3^(k+1-1) + a_(k+1-1) = 3^k + a_k = 3^k + (3^k - 1)/2
= 2 * 3^k / 2 + (3^k - 1)/2 = (3 * 3^k - 1 ) /2 = [ 3^(k+1) - 1 ]/ 2
满足求证
所以命题得证！
Sn=1/2^2 - 1 + 1/3^2 - 1 + 1/4^2 - 1 +..... + 1/n^2 - 1
=1/(2 - 1)(2 + 1) + 1/(3 - 1)(3 + 1) + ...... + 1/(n - 1)(n + 1)
=1/(1 * 3) + 1/(2 * 4) + ...... + 1/(n - 1)(n + 1)
=1/2[1/1 - 1/3 + 1/2 - 1/4 + ...... + 1/(n - 1)(n + 1)]
=1/2[1 + 1/2 - 1/n - 1/(n + 1)]
=3/4 - 1/(2n) - 1/(2n + 2)
